Теоретико-множественный смысл разностиВ аксиоматической теории вычитание натуральных чисел определено как операция, обратная сложению: а – b = с Û ($ сÎN) b + с = а. Вычитание целых неотрицательных чисел определяется аналогично. Выясним, каков смысл разности таких чисел, если а = n(А), b = n(В).
Доказательство. Так как по условию В - собственное подмножество множества А, то с помощью кругов Эйлера их можно представить так, как на рисунке. Разность А\В на этом рисунке заштрихована. Видим, что множества В и А\В не пересекаются и их объединение равно А. Поэтому число элементов в множестве А можно найти формуле п(А) = n(В) +n(А\В), откуда, по определению вычитания как операции, обратной сложению, получаем, что n(А\В) =n(А) - n(В). Из рассмотренной теоремы следует, что с теоретико-множественных позиций разность натуральных чисел а и b представляет собой число элементов в дополнении множества В множества А, если а = n(А), b = n(В) и В Ì А: а - b = n(А) - n(В) = n (А\В), если В Ì А. Аналогичное истолкование получает вычитание нуля, а также вычитание а из а. Так как А\0 =А, А\А =0,то а-0=а и а-а=0. Взаимосвязь вычитания чисел и вычитания множеств позволяет обосновать выбор действия при решении текстовых задач. Выясним, например, почему следующая задача решается при помощи вычитания: «У школы росло 7 деревьев, из них 4 березы, остальные липы. Сколько лип росло у школы?» В задаче рассматриваются три множества: множество А всех деревьев; множество В берез, оно является подмножеством множества А; и множество С лип - оно представляет собой дополнение множества В до А. В задаче требуется найти число элементов в этом дополнении. Так как по условию n(А) = 7, n(В) = 4 и В Ì; А, то n(С) = n(А\В) = = n(А) - n(В) = 7- 4. Разность 7 - 4 - это математическая модель данной задачи. Вычислив значение этого выражения, получим ответ на вопрос задачи: 7 - 4=3. Следовательно, у школы росло 3 липы. Рассматриваемый подход к сложению и вычитанию целых неотрицательных чисел позволяет истолковать с теоретико-множественных позиций правила вычитания числа из суммы и суммы из числа. Выясним, например, теоретико-множественный смысл правила: «Если а, b, с - натуральные числа и а > с, то (а + b) - с = (а - с) + b».
Нетрудно доказать, что для данных множеств А, В и С имеет место равенство (А È В)\С = (А\С) È В. Но n((А ÈВ)\С) = = n(А È В) - n(С) = (а + b) - с, а n((А\С) ÈВ) = n(А\С) + n(В) = (а - с) + b. И следовательно, (а + b) - с = (а - с) + b, если а > с. С теоретико-множественной позиции можно рассмотреть и смысл отношений «больше на» и «меньше на». В аксиоматической теории определение отношения «меньше на» («больше на») естественным образом вытекает из определения отношения «меньше». Действительно, из того, что а < b тогда и только тогда, когда существует такое натуральное число с, что а + с = b, имеем, что «а меньше b на с» или «b больше а на с». Если а = n(А), b = n(В) и установлено, что а < b, то, исходя из теоретико-множественного смысла отношения «меньше», в множестве В можно выделить собственное подмножество В1, равномощное множеству А, и непустое множество В\В1. Если число элементов в множестве В\В1 обозначить через с (с ¹ 0), то в множестве В будет столько же элементов, сколько их в А, и еще с элементов: n(В) = n(В) + n(В\В1) или b = а + с, что означает, что «а меньше b на с» (или «больше а на с»). Итак, с теоретико-множественной точки зрения «а меньше b на с» (или «b больше а на с») означает, что если а = п (А), b = п(В), то в множестве В содержится столько элементов, сколько их в А, и еще с элементов. Так как с = n(В\В1), где В1 Ì В, п(В) = b, п(В1 ) = а, то, по определению разности, с = а - b. Следовательно, чтобы узнать, на сколько одно число меньше или больше другого, надо из большего числа вычесть меньшее. Взаимосвязь действий над множествами с действиями над числами, теоретико-множественный смысл отношений «меньше на» и «больше на» позволяют обосновывать выбор действий при решении задач с этими отношениями. Рассмотрим, например, такую задачу: «На столе 5 чашек, а ложек на 2 больше. Сколько на столе ложек?» Легко видеть, что она решается при помощи сложения. Почему? В задаче речь идет о двух множествах: множестве чашек (А) и множестве ложек (В). Известно, что в первом множестве 5 элементов, т.е. n(А) = 5. Число элементов во втором множестве требуется найти при условии, что в нем на 2 элемента больше, чем в первом. Отношение «больше на 2» означает, что в множестве В элементов столько же, сколько их в А, и еще 2 элемента (См. рис.). А
В1 В\В1
В Применимо к тем множествам, о которых идет речь в задаче, это означает, что ложек на столе столько же, сколько чашек, и еще 2. Используя правило подсчета элементов в объединении непересекающихся множеств, получаем: n(В) = n(В1) + n(В\В1) = 5+2. Так как 5 + 2 = 7, то получим ответ на вопрос задачи: на столе 7 ложек. Рассмотрим еще одну задачу: «На столе 5 чашек, а ложек на 2 меньше. Сколько на столе ложек?» Выясним, почему она решается при помощи вычитания. В задаче речь идет о двух множествах: множестве чашек (А) и множестве ложек (В). Известно, что в первом множестве 5 элементов, т.е. n(А) = 5. Число элементов во втором множестве надо найти при условии, что в нем на 2 элемента меньше, чем в первом. Отношение «меньше на 2» означает, что в множестве В элементов столько же, сколько их в А, но без двух (См. рис.). А
А1 А\А1
В Применимо к тем множествам, о которых идет речь в задаче, это означает, что ложек на столе столько же, сколько чашек, но без двух. Таким образом, n(В) = n(А1) = = n(А) - n(А \А1) = 5 - 2. Так как 5 - 2 = 3, то получим ответ на вопрос задачи: на столе 3 ложки.
|
Теорема. Пусть А - конечное множество и В - его собственное подмножество. Тогда множество А\В тоже конечно, причем выполняется равенство п(А\В) = п(А) -п(В).
Пусть А, В и С - такие множества, что n(А) = а, n(В) = b и А Ç В = Æ, С Ì А (См. рисунок).
