Задание 2. Решить систему уравнений методом Крамера:

Решить систему уравнений методом Крамера:

Решение:

, .

Тогда , , .

Вычисляя определители этих матриц, получаем , , , .

Значения неизвестных вычисляются по формулам Крамера:

, , .

 

Решить систему уравнений с помощью обратной матрицы:

 

 

Решение:

, .

Вычислим определитель матрицы , разлагая по первой строке:

Значит, обратная матрица существует.

Вычислим алгебраические дополнения элементов матрицы:

,

,

,

,

,

,

,

,

.

Тогда решение системы получается умножением обратной матрицы на столбец свободных членов

 

Задание 3. Выяснить, является ли данная система векторов линейно зависимой или линейно независимой:

Решение: Система векторов линейно независима, если линейная комбинация этих векторов обращается в ноль только в том случае, когда все коэффициенты при данных векторах равны нулю, т.е. .

Проверим, являются ли вектора линейно зависимыми.

Преобразуем систему линейных уравнений методом Гаусса. Выпишем расширенную матрицу системы в виде таблицы (столбец свободных членов системы состоит только из нулей и не изменяется в процессе преобразований, поэтому его можно не записывать).

-3       -1           -3

Значит, . Следовательно, система векторов линейно независима.

 

Задание 4. Вычислить предел

 

Задание 5. Вычислить предел

 

Задание 6. Найти производную функции

Решение:

 

Задание 7. Найти производную функции, заданной неявно.

Решение:

 

Задание 8. Пользуясь правилом Лопиталя найти предел

Решение:

 

Задание 9. Составить уравнение касательной и нормали к графику функции в точке :

Решение:

Уравнение касательной имеет вид:

;

;

Уравнение нормали имеет вид:

;

 

Задание 10. Найти интервалы монотонности и экстремумы функции

Решение:

- стационарные точки

Функция убывает при , возрастает при .

Точка не является точкой экстремума, т.к. производная не меняет знак при переходе через эту точку.

Точка - точка минимума.

- минимум функции.

 

Задание 11. Задана функция спроса . Найти эластичность при заданных значениях цены или количества товара. ,

Решение:

Если это функция спроса, то эластичность вычисляется по формуле

Из уравнения функции спроса найдем значение при :

;

;

.

Тогда

 

Задание 12. Найти частные производные

Решение:

 

Задание 13. Дана функция , точка и вектор . Найти в точке и производную в точке по направлению вектора , если

Решение:

 

Литература

1. Общий курс высшей математики для экономистов: Учебник / Под ред. В.И.Ермакова. – М.: ИНФРА-М, 2000. – 656 с. – (Высшее образование).
2. Красс М.С., Чупрынов Б.П. Математика для экономистов. – СПб.: Питер, 2004. – 464 с.: ил. – (Серия «Учебное пособие»).
3. Малыхин В.И. Математика в экономике: Учебное пособие. – М.: ИНФРА-М, 2002. – 352 с. – (Серия «Высшее образование»).
4. Практикум по высшей математике для экономистов: Учеб. пособие для вузов / Кремер Н.Ш., Тришин И.М., Путко Б.А. и др.; Под ред. проф. Н.Ш.Кремера. – М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2004. – 423 с.