Задача №1 (Комбинаторный метод вычисления вероятностей в классической схеме).

Варианты 1, 2

В магазин поступило n телевизоров. Из них k имеют скрытые дефекты. Покупателю для выбора наудачу предложено l телевизоров. Какова вероятность того, что все предложенные покупателю изделия не содержат дефектов?

1. n=30, k=3, l=2.

2. n=20, k=2, l=3.

Варианты 3,4

Из партии, содержащей n изделий, среди которых k бракованных, наудачу извлекают m изделий для контроля. Найти вероятности следующих событий: А={в полученной выборке ровно l бракованных изделий}, B={в полученной выборке нет бракованных изделий}.

3. n=10, k=3, l=1, m=4.

4. n=12, k=3, l=2, m=5

Варианты 5,6

Имеются два ящика с деталями. В первом n деталей, из них m годных. Во втором ящике N изделий, из них M годных. Сборщик наудачу выбрал по одной детали из каждого ящика. Найти вероятность того, что обе выбранные детали годные. Какова вероятность того, что обе выбранные детали бракованные?

5. n=12, m=8, N=8, M=7.

6. n=14, m=10, N=6, M=4.

Варианты 7,8

Группа, состоящая из 8 человек, занимает места с одной стороны прямоугольного стола. Найти вероятность того, что два определенных лица окажутся рядом, если:

7. число мест равно 8.

8. число мест равно 12.

Варианты 9,10

Из урны, содержащей m+n шаров, из которых m белых и n черных, на удачу отбирают k шаров и откладывают в сторону. Найти вероятности следующих событий: A={все отложенные шары белые}, B={среди отложенных шаров ровно l белых}.

9. m=10, n=6, k=5, l=3.

10. m=8, n=12, k=6, l=4.

Задача №2 (Геометрическое определение вероятности)

Иванов и Петров договорились о встрече в определенном месте между 11 и 12 часами. Каждый приходит в случайный момент указанного промежутка и ждет товарища не более t минут (для нечетных вариантов t=15 минут, для четных – t=20 минут), после чего уходит. Наблюдаемый результат – пара чисел (x,y), где x – время появления Петрова, y – время появления Иванова (время исчислять в минутах). Построить множество элементарных событий Ω и подмножество, соответствующее событию, указанному в Вашем варианте. Найти вероятность этого события.

Варианты 1,2

Событие A={встреча состоялась}.

Варианты 3,4

Событие B={Петров ждал Иванова все обусловленное время и не дождался}.

Варианты 5,6

Событие C={Иванову не пришлось ждать Петрова}.

Варианты 7,8

Событие D={встреча состоялась после 11 часов 30 минут}.

Варианты 9,10

Событие E={Иванов опоздал на встречу}.

 

 

Задача № 3 (Вероятности сложных событий и применение теорем сложения и умножения)

 

Электрическая цепь прибора составлена по схеме, приведенной на рисунке Вашего варианта. Событие A_k={k-ый элемент вышел из строя}. k=1,2,…,6. Отказы элементов являются независимыми в совокупности событиями. Известна надежность k-го элемента (соответственно - вероятность отказа). Событие B={разрыв цепи}. Выразить событие B в алгебре событий A_k. Найти вероятность отказа прибора и вероятность надежности схемы. p₁=p₂=0.9, p₃=p₄=0.8, p₅=p₆=0.85.

 

Вариант 1

 

 

Вариант 2

 

 

Вариант 3

 

 

Вариант 4

 

 

 

Вариант 5

 

 

Вариант 6

 

 

 

 

Вариант 7

 

 

Вариант 8

 

Вариант 9

 

 

 

Вариант 10

 

 

 

 

Вариант 10

 

 

Задача № 4 (Формула полной вероятности и формула Байеса)

Варианты № 1, 2

В сборочный цех поступает некоторая деталь с трёх станков-автоматов. Среди изделий первой линии % стандартных, у второй линии %, % - у третьей линии. Объём продукции первой линии %, второй линии %. Определить вероятность того, что наудачу взятая сборщиком деталь окажется бракованной. Определить вероятность того, что деталь изготовлена на третьей линии, если оказалось, что она бракованная.

1. =98%, =95%, =92%, =40%, =30%.

2. =97%, =96%, =95%, =45%, =35%.

Варианты № 3, 4

В тире имеется три вида винтовок: - первого типа, - второго типа, -третьего типа. Вероятность попадания в цель из винтовок первого типа , второго типа , третьего типа . После выстрела из винтовки, выбранной наудачу, цель была поражена. Какова вероятность того, что выстрел был сделан из винтовки третьего типа?

3. =3, =4, =3, =0.9, =0.85, =0.65.

4. =1, =3, =5, =0.65, =0.7, =0.75.

Варианты № 5,6

В магазин поступают телевизоры с трёх заводов. С первого завода поступает % телевизоров со скрытыми дефектами, % со второго завода и % с третьего завода. Какова вероятность того, что в магазин привезут исправный телевизор, если известно, что с первого завода поступило телевизоров , со второго , с третьего ?

5. =10%, =5%, =6%, =3, =3, =4.

6. =15%, =10%, =15%, =5, =3, =2.

 

Варианты № 7,8

В ящике n теннисных мячей. Из них игранных m. Для первой игры наудачу взяли два мяча и после игры их положили обратно. Для второй игры также наудачу взяли два мяча. Какова вероятность того, что вторая игра будет проводиться новыми мячами?

 

7. n =10, m =2.

8. n =12, m =4.

 

Варианты № 9,10

Три стрелка произвели по выстрелу в одну и ту же мишень. Вероятность попадания у них соответственно р1, р2, р3. В мишени оказались две пробоины. Определите вероятность промаха n -го стрелка.

9. р1 =0.5, р2 =0.7, р3 =0.9, n =1.

10. р1 =0.6, р2 =0.8, р3 =0.9, n =2.

 

Задача № 5 (Схема испытаний Бернулли и предельные теоремы в схеме Бернулли)

Варианты №1,2,3

Вероятность выигрыша в лотерею по одному билету равна р. Куплено n билетов. Найти наивероятнейшее число выигравших билетов и соответствующую вероятность.

1. p=0.3, n=15.

2. p=0.4, n=12.

3. p=0.2, n=8.

Варианты № 4,5

В семье n детей. Считая вероятность рождения мальчика и девочки по 0.5, определить вероятность того, что в данной семье мальчиков не менее k, но не более m.

4. n =6, k=3, m=5.

5. n =7, k=2, m=4.

Варианты № 6,7,8

Вероятность выпуска бракованного сверла равна 0.02. Свёрла укладывают в коробки по n штук. Какова вероятность того, что в коробке m бракованных свёрл?

 

6. n=100, m=2.

7. n=200, m=4.

8. n=150, m=1.

Варианты №9,10

Вероятность того, что поставляемая на сборочный конвейер деталь попадает в сборку, равна р. Какова вероятность того, что из n деталей на сборку не попало деталей от k1 до k2?

9. p=0.8, n=150, k1=15, k2=35.

10. p=0.7, n=200, k1=50, k2=60.

 

Задача №6 (Дискретные случайные величины)

 

Составить закон распределения случайной величины Х. Записать функцию распределения, построить её график. Вычислить числовые характеристики М(Х), D(Х), s(Х)).

 

Варианты №1,2,3,4

Х -число отказавших элементов в одном опыте с устройством, состоящим из n независимо работающих элементов. Вероятность отказа каждого элемента р.

1. n = 3, p=0.1.

2. n=4, p=0.15.

3. n=3, p=0.15.

4. n=4, p=0.2.

Варианты №5,6,7

В партии k% бракованных изделий. Наудачу отобрано n изделий. Х - число бракованных изделий среди отобранных. Дискретная случайная величина Х распределена по биномиальному закону:

5. k=15%, n=4.

6. k=10%, n=5.

7. k=20%, n=3.

Варианты №8,9,10

В партии из n деталей имеется m стандартных. Наудачу отобрали k деталей. Х -число стандартных деталей среди отобранных.

8. n=10, m=8, k=3.

9. n=9, m=7, k=3.

10. n=12, m=10, k=3.

 

Задача№7 (Непрерывные случайные величины: равномерное, нормальное и показательное распределения)

 

Варианты №1,2, 3

Цена деления шкалы амперметра равна a Ампер. Показания амперметра округляют до ближайшего целого деления. Найти вероятность того, что при отсчёте будет сделана ошибка, меньшая e.

1. a=0.1, e=0.04.

2. a=0.2, e=0.05.

3. a=0.1, e=0.02.

 

Варианты №4,5,6,7

Автомат штампует детали. Контролируется длина детали Х, которая распределена нормально. Проектная длина детали равна l мм. Фактическая длина изготовленных деталей не менее a мм и не более b мм. Найти вероятность того, что длина наудачу взятой детали меньше амм.

4. l=50, a=32, b=68, а =40.

5. l=100 a=80, b=120, а =90.

6. l=80 a=70, b=90, а =75.

7. l=200 a=160, b=240, а =190.

 

Варианты №8,9,10

Длительность времени безотказной работы элемента имеет показательное распределение, определяемое плотностью при x≥0, при x<0. Найти вероятность того, что за время t часов элемент не откажет.

8. l=0.01, t=50.

9. l=0.02, t=100.

10. l=0.03, t=100.

 

 

Задача № 8 (Выборка, выборочные характеристики)

Из изучаемой налоговыми органами обширной группы населения случайным образом отобраны 10 человек и собраны сведения об их доходах за истекший год в тысячах рублей: х1, х2,…, х10. Найти выборочное среднее, исправленную выборочную дисперсию. Считая распределение доходов в группе нормальным и принимая в качестве его параметров выборочные характеристики, определить, какой процент населения имеет годовой доход, превышающий 70 тыс. рублей.

 

№ вар	x1	x2	x3	x4	x5	x6	x7	x8	x9	x10