Тема 9 Статистические оценки параметров распределения

 

Пусть требуется изучить количественный признак генеральной совокупности. Из теоретических соображений и по виду гистограммы или полигона частот установлено, что изучаемый признак распределен в генеральной совокупности по нормальному закону. Тогда необходимо оценить математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение, то есть параметры, определяющие нормальное распределение.

Для того чтобы статистическая оценка, найденная по данным выборки, давала «хорошее» приближение оцениваемого параметра, она должна удовлетворять следующим трем требованиям: быть несмещенной, эффективной и состоятельной.

Несмещенной называют статистическую оценку , математическое ожидание которой равно оцениваемому параметру при любом объеме выборки: .

Эффективной называют статистическую оценку, которая при заданном объеме выборки имеет наименьшую возможную дисперсию.

Состоятельной называют статистическую оценку, которая при стремится по вероятности к оцениваемому параметру.

Для изучения генеральной совокупности относительно количественного признака извлечена выборка объема .

Точечная оценка представляет из себя приближённое значение оцениваемого параметра и определяется одним числом.

Выборочной средней называют среднее арифметическое взвешенное значение признака выборочной совокупности и вычисляется по формуле:

.

Выборочная средняя есть несмещенная, эффективная и состоятельная оценка генеральной средней .

Для того, чтобы охарактеризовать рассеяние наблюдаемых значений количественного признака выборки вокруг своего среднего значения , вводят выборочную дисперсию, которую вычисляют по формуле

и среднее квадратическое отклонение , которое в математической статистике часто называют выборочным стандартом.

Выборочную дисперсию и отклонение вычисляют для больших выборок .

Для малых выборок вычисляют исправленную дисперсию :

и исправленное стандартное отклонение:

Вычисление выборочных характеристик , D_B, и часто называют первичной статистической обработкой результатов наблюдений.

Для сравнения различных вариационных рядов служит коэффициент вариации или : тот из рядов имеет большее рассеяние по отношению к выборочной средней, у которого коэффициент вариации больше.

 

Вычислим точечные характеристики для примеров 1 и 2 темы 8.

Пример 1 (продолжение). Составим расчетную таблицу 1.

Таблица 1

хi	ni	xini	(xi- )2 ni
			29,49
			19,62
			58,82
			47,24
			34,76
			4,25
			6,50
			22,18
			46,23
			63,72
			62,65
			31,02
Сумма			426,49

 

Вычислим: , ,

, , ,

.

По расчетам видно, что для выборки объема в 100 единиц выборочный стандарт и исправленный стандарт отличаются незначительно.

 

 

Пример 2. Получено распределение людей по росту:

Таблица 1

Рост, см	(146;152]	(152;158]	(158;164]	(164;170]	(170;176]	(176;182]	(182;188]
Кол-во

 

Построить гистограмму частот по данному распределению.

Определить точечные оценки параметров распределения.

Решение:Найдем плотности частот , где ширина частичных интервалов

h = 152–146=6:

Таблица 2

	(146;152]	(152;158]	(158;164]	(164;170]	(170;176]	(176;182]	(182;188]	Сумма
	1,67	15,67	50,17	61,83	30,67	6,33	0,83

Гистограмма частот.

n_i/h

 

 

От интервального ряда перейдем к ряду дискретному, найдя для каждого частичного интервала середину: х ₁=(146+152):2=149 и т. д. Составим расчетную таблицу 2.
Таблица 2

хi	ni	xini	(xi- )2 ni
			2746,3
			10170,8
			5991,9
			756,5
			10152,2
			6851,8
			1887,2
Сумма			39556,7

Вычислим среднее выборочное :

см – средний рост людей данной группы;

выборочную дисперсию :

и выборочный стандарт :

cм характеризует абсолютный разброс выборочных данных вокруг среднего.

Коэффициент вариации :

характеризует относительный разброс выборочных данных вокруг среднего.