ЗАДАЧА № 3. Обработка результатов измерений

 

В процессе изготовления точных деталей для повышения точности определения их действительных размеров используют серию измерений одним и тем же измерительным средством в одних и тех же условиях. При этом возникает задача определения границы доверительного интервала изменения погрешности результатов измерений, абсолютной и относительной погрешности при некотором заданном уровне надежности (доверительной вероятности) определения результата измерения. Причем, возможны два случая: границы доверительного интервала изменения погрешности результатов измерений сравнимы по величине с величиной погрешности используемого измерительного средства, либо значительно меньше ее.

Общий порядок обработки результатов измерений в подобных случаях:

1. Записать результаты измерений a _i;

2. Вычислить среднее значение из n измерений

а =

3. Определить погрешности отдельных измерений

V _i = а - а _i;

4. Вычислить квадраты погрешностей отдельных измерений

V _i²;

5. Определить среднюю квадратическую погрешность результата серии измерений

6. Задаться значением надежности a (обычно выбирают одно из так называемых стандартных значений – 0,9; 0,95; 0,99; 0,995; 0,999);

7. Определить коэффициент Стьюдента t _a(n) для выбранной надежности a и числа проведенных измерений n (см. табл. 3.1);

8. Найти границы доверительного интервала изменения погрешности результатов измерений

D х = t _a (n)× S_a

Если эта величина окажется сравнимой с величиной d погрешности прибора, то в качестве границ доверительного интервала следует взять величину

.

9. Записать окончательный результат

X = a ±D x;

10. Оценить относительную погрешность результата серии измерений

e = .
Таблица 3.1

Значения коэффициентов Стьюдента t _a для различных значений надежности a и числа измерений n

 

n \a	0,5	0,6	0,683	0,8	0,9	0,95	0,98	0,99	0,995	0,997	0,998	0,999
	0,74	0,94	1,14	1,53	2,13	2,78	3,75	4,60	5,60	6.49	7,17	8,61
	0,73	0,92	1,11	1,48	2,02	2,57	3,36	4,03	4,77	5,40	5,89	6,86
	0,72	0,91	1,09	1,44	1,94	2,45	3,14	3,71	4,32	4,82	5,21	5,96
	0,71	0,90	1,08	1,42	1,90	2,36	3,00	3,50	4,03	4,46	4,79	5,40
	0,71	0,89	1,07	1,40	1,86	2,31	2,90	3,36	3,83	4,21	4,50	5,04
	0,70	0,88	1,06	1,38	1,83	2,26	2,82	3,25	3,69	4,03	4,30	4,78
	0,70	0,88	1,05	1,37	1,81	2,23	2,76	3,17	3,58	3,90	4,14	4,59
	0,70	0,88	1,05	1,36	1,80	2,20	2,72	3,11	3,50	3,79	4,02	4,49
	0,69	0,87	1,04	1,36	1,78	2,18	2,68	3,06	3,43	3,71	3,93	4,32
	0,69	0,87	1,04	1,35	1,77	2,16	2,65	3,01	3,37	3,65	3,85	4,22
	0,69	0,87	1,04	1,35	1,76	2,14	2,62	2,98	3,33	3,59	3,79	4,14
¥	0,67	0,84	1,00	1,28	1,65	1,96	2,33	2,58	2,81	3,00	3,09	3,29

 

Примеры

1. Микрометром было сделано 5 замеров диаметра цилиндра а _i:

14,85; 14,80; 14,84; 14,81; 14,79.

Цена деления микрометра 0,01 мм. Определить диаметр цилиндра с надежностью a = 0,95.

Решение

Для первых пяти измерений определим среднеарифметическое значение и границы доверительного интервала. Для удобства расчетов в качестве а _о выберем произвольное число, удобное для расчетов:

а _о = 14,80 мм

Определим разности (а_i - а _о) и квадраты этих разностей:

i	а i, мм	аi - а о, мм	(аi - а о)2, мм2
	14, 85	0, 05	0, 0025
	14, 80	0, 00	0, 0000
	14, 84	0, 04	0, 0016
	14, 81	0, 01	0, 0001
	14, 79	-0, 01	0, 0001
	0, 09	0, 0043

 

 

Найдем среднее значение а размера:

, мм;

а - а _о = 14,82 – 14,80 = 0, 02 мм;

(а - а _о)² = 0, 02² = 0,0004 мм

Найдем среднеквадратичное отклонение размеров S_а:

мм²

мм.

Для надежности a = 0,95 и n = 5 t _a = 2,78.

Абсолютная погрешность измерения D х:

D х = t _a× S_а = 2,78 × 0,0116 = 0,0322» 0,03 мм.

Относительная погрешность измерения

e _а = .

Результат измерения можно представить в виде

(14,82 - 0,03) мм £ а £ (14,82 + 0,03) мм,

или а = (14,82 ± 0,03) мм.

 

2. Определить, сколько деталей из всей партии запуска N = 1220деталей следует подвергнуть повторному контролю в порядке случайной выборки, чтобы с вероятностью a = 0,95 предельная ошибка (абсолютная погрешность) не превышала 3% от среднего размера деталей x = 42 мм.

Коэффициент вариации среднего размера по данным предыдущих проверок составляет V _s = 6% = 0,06.

Решение:

Абсолютная погрешность измерения

D _Х = e× х = 0,03×42 = 1,26 мм.

где e = 3% – установленная относительная погрешность измерения.

Среднее квадратичное отклонение:

S_X = V _s× x = 0,06×42 = 2,52 мм.

Оптимальная численность выборки для повторного отбора:

n = N × t _a(N)²× S_X ²/(D² _X × N + t ²× S_X ²) =

= 1220×2²×2,52²/(1,26²×1220 + 2²×2,52²) = 15,8

где: t _a(N) – коэффициент Стьюдента t _a(n) для выбранного уровня надежности (вероятности) a и числа проведенных измерений n, в нашем случае количество деталей настолько велико, что приближенно можно считать, что оно близко к бесконечности (см. табл. 3.1):

t _a(N) = t _a (1220)» t _a (¥) = 1,96

Таким образом необходимо обследовать 16 деталей.