Виникнення хвиль з прямокутним фронтом

Включення джерела. Для з'ясування фізичної сторони виникнення і руху хвилі розглянемо лінію, що в момент часу t=0 приєднується до джерела постійної напруги U₀ (внутрішній опір джерела рівний нулю). Для джерела синусоїдальної напруги промислової частоти (l»6000 км) в повітряній лінії за час проходження хвилею відстані в межах декількох десятків кілометрів його напругу також можна лічити постійним.

Після підключення джерела до лінії виникає хвиля з напругою u_п=U₀ що заряджає послідовно один елемент лінії за іншим до напруги U₀.

Припустимо, що в момент t хвиля досягла перетину тп (рис.15). В цей момент в усіх точках x лівіше перетину напруга між проводами дорівнює U₀., а правіше цього перетину напруга дорівнює нулю.

Рис. 15

 

На поверхні верхнього проводу відбувається нагромадження позитивного заряду, і лівіше перетину тп заряд на одиницю довжини q₀=C₀U₀, а правіше він дорівнює нулю. За час dt хвиля переміститься правіше перетину тп на відстань dx=cdt При цьому елемент лінії dx отримає заряд dq = q₀dx = C₀U₀dx, що повинен пройти по верхньому проводу через перетин тп і через будь-який перетин верхнього проводу лівіше тп. Розповсюдження заряду створює на всьому протязі верхнього проводу від джерела до перетину тп струм

i = dq/dt = q₀ dx/dt = C₀U₀c = I₀.

Водночас з нагромадженням позитивного заряду на поверхні верхнього проводу лінії відбувається нагромадження негативного заряду на поверхні нижнього проводу. Розповсюдження негативного заряду вздовж нижнього проводу з ліва направо зв'язане з електричним струмом в нижньому проводі, направленим в протилежну сторону, т. ч. з права наліво.

Процес розповсюдження зарядів можна уявити собі таким чином, що по мірі переміщення хвилі з ліва направо елементи верхнього проводу один за іншим набувають деякого позитивного заряду і такий же позитивний заряд віднімається від елементів нижнього проводу. Протилежні заряди утворюють електричне поле між проводами на всій довжині дільниці лінії, по якому вже минула хвиля. При виникненні електричного поля у фронті хвилі між знов заряджаємими елементами проводів (тр і nq на рис.15) протікає струм зміщення. Одержується замкнутий ланцюг струму. Від позитивного полюсу джерела струм іде по верхньому проводу, замикається у фронті хвилі струмом зміщення між проводами і після цього іде по нижньому проводу до негативного полюсу джерела. По мірі руху хвилі ланцюг подовжується, але струм в ланцюзі залишається незмінними: I₀=C₀U₀c.

В контурі що утвориться цим ланцюгом виникає магнітний потік, лінії якого лежать в площинах, перпендикулярних осям проводів. При переміщенні хвилі на відстань dx=cdt магнітний потік збільшується на величину dФ = L₀I₀dx = L₀I₀cdt. При виникненні потоку dФ в контурі mpqn наводиться ЕРС самоіндукції

діюча проти направлення руху стрілки годин. Таким чином, ЕРС самоіндукції у фронті хвилі, скерована по лінії qp, дорівнює протилежній напрузі:

Звідки

Енергія, що віддається в одиницю часу джерелом, дорівнює U₀I₀. В одиницю часу хвиля переміщується на відстань, рівну с. На кожному одиничному відрізку лінії, пройденому хвилею, запасається енергія в електричному полі та в магнітному полі. На підставі закону збереження енергії

Підставивши в ліву частину цього рівняння I₀=C₀U₀c, отримаємо співвідношення

Т. ч. для хвилі значення енергії електричного і магнітного полів на ділянці лінії, пройденій хвилею, рівні між собою.

Розглянута вільна має прямокутну форму

При t< x/c

При t> x/c

І називається хвилею з прямокутним фронтом.

Якщо до лінії підключається джерело з внутрішнім опором r_вн, струм і напруга хвилі стають меншими. В цьому випадку

Звідки

При підключенні генератора з індуктивним внутрішнім опором фронт хвилі змінюється і хвиля перестає бути прямокутною.

Включення навантаження. Хвилі прямокутної форми виникають і при підключенні до зарядженої лінії приймача з резистивним опором.

Розглянемо лінію з хвильовим опором Z_в, заряджену до напруги U₀. Якщо в момент часу t=0 в кінці лінії включається приймальник з опором навантаження r_н (рис.16), то в кінці лінії виникає обернена хвиля, яка рухається від кінця лінії до її початку.

Напруга і струм цієї хвилі можуть бути легко розраховані за допомогою рівнянь, складених за законом Ома для хвилі і для опору навантаження:

Звідки

На рис.16 показані прямокутні хвилі напруги і струму, що виникають в цьому випадку.

Рис. 16

 

Відключення джерела. При відключенні лінії від джерела живлення в ній також виникають хвилі.

Нехай в лінії з опором навантаження r_н встановився струм I_н=U₀/r_н=U_н/r_н. Якщо в момент t=0 відключити джерело енергії (рис.17), то струм на початку лінії миттєво спаде до нуля і виникне хвиля з напругою і струмом

В результаті накладання цієї хвилі на напругу та струм, що є в лінії i=I_н+i_п=0, а напруга и=U_н+u_п=U_н - Z_в I_н.

Якщо струм навантаження I_н менш зарядного струму I₀ при включенні лінії до джерела постійної напруги U₀=U_н т. ч. I_н < U_н/Z_в, та напруга и=U_н,-Z_в I_н > 0 і на пройденій хвилею ділянці збережеться після відключення деяка частка напруги того ж напрямку (рис.17). Якщо ж I_н > U_н/Z_в, то лінія на ділянці, пройденій хвилею, зарядиться в протилежному напрямі.

Рис.17

 

Відключення приймальника. При відключенні приймальника (рис.18) в лінії виникає така ж хвиля, як і при відключенні джерела. Різниця полягає тільки в тому, що ця хвиля має протилежний знак і розповсюджується в зворотному напрямі.

В результаті накладення цієї хвилі на режим струму, що передує в лінії I_н+i₀=0, а напруга и=U_н+u₀=U_н+Z_в I_н.

 

Рис. 18

 

При відключенні приймальника обернена хвиля викликає підвищення напруги в лінії, яке тим більше, чим більше хвильовий опір лінії. В випадку відключення приймальника від повітряних ліній перенапруження можуть бути надто значними.

За допомогою аналогічних міркувань можуть бути знайдені хвилі, що виникають в більш складних випадках.