Численное решение дифференциального уравнения

Решить задачу Коши на примере уравнения первого порядка

(22.1)

Уравнения высших порядков можно свести к системе уравнений первого порядка. Например, уравнение второго порядка

можно переписать в следующем виде:

;

,

где z – новая зависимая переменная, определяемая вторым уравнением. Теперь получается система уравнений относительно y и z. Решение этой системы даёт функцию и её производную.

Построение численных алгоритмов решения уравнения (22.1) опирается на дискретизацию задачи. Введём в области расчёта дискретный набор точек , в которых будет вычисляться приближённое решение. Точки x_i будем называть узлами интегрирования или узлами сетки (рисунок 22.1), расстояние h между узлами – шагом интегрирования или шагом сетки. Совокупность всех узлов будем называть сеточной областью или просто сеткой узлов.

y

m

x

n

j

i

Δ x

…

 

Рисунок 22.1 – Ортогональная сетка

Также будем пользоваться другими обозначениями:

– совокупность искомых приближённых значений решения задачи в узлах сетки;

– совокупность значений правой части уравнения в узлах.

Различные совокупности величин, отнесённых к узлам сетки, называются сеточными функциями.

Для характеристики точности численных методов определим погрешность приближённого решения следующим образом:

где y (x_i) – значение точного решения в узле сетки.

Метод, по которому получено численное решение, является методом p -го порядка точности, если выполняется неравенство

.

Переходим к обсуждению конкретных методов получения приближённого решения задачи в узлах сетки.

Простейший способ их конструирования опирается на замену производной в левой части уравнения в окрестности каждого узла приближённым разностным отношением по формулам численного дифференцирования.

[kgl].

 

[gl] Тема 23. Метод Эйлера для задачи Коши. Схема алгоритма метода Эйлера [:]

 

Заменяя в (22.1) производную в окрестности каждого i -го узла сетки разностным отношением, приходим к методу Эйлера:

(23.1)

Алгебраические соотношения между компонентами сеточной функции, которыми заменяются исходные дифференциальные уравнения в окресности каждого узла сетки, будем называть разностными уравнениями (соотношениями).

Замкнутую систему разностных уравнений вместе с дополнительными условиями (начальными или краевыми) называют разностной схемой. Таким образом, (23.1) – это разностная схема Эйлера.

Последовательные значения y_i вычисляются по формуле

, (23.2)

которая непосредственно следует из соотношения (23.1).

Метод Эйлера имеет очень простую геометрическую интерпретацию. Искомая интегральная кривая y (x) на отрезке [ a, b ] приближается к ломаной (рисунок 23.1), наклон которой на каждом элементарном участке [ x_i, x_{i +1}] определяется наклоном интегральной кривой уравнения в точке (x_i, y_i).

К этому же методу можно придти, заменяя производную в уравнении (23.2) разностным отношением

 

y

ya

yi

y (x)

x

xi

b

a

h

O

 

 

Рисунок 23.1 – Интегральная кривая

 

Последовательные значения y_i в этом случае вычисляются по формуле

.

Однако при этом возникают некоторые трудности, связанные с тем, что искомая величина y_i входит в правую часть уравнения, причём, в общем случае, нелинейным образом. Эти трудности не принципиальны, достаточно вспомнить о методах решения нелинейных уравнений.

Например, можно предложить следующий итерационный процесс для вычисления приближённого решения в очередном i -м узле

.

Такого рода методы, в которых для вычисления приближённого решения в очередном i -м узле необходимо дополнительно решать некоторые уравнения (линейные или нелинейные), называются неявными методами. В противоположность этому методы, в которых приближённое решение в очередном i -м узле явно выражается через предыдущие значения y_{i –1}, y_{i –2}, …, называются явными методами. При этом, если для вычисления y_i используется только одно предыдущее значение y_{i –1}, то метод называется одношаговым, а если несколько предыдущих значений – многошаговым. Таким образом, метод Эйлера является явным одношаговым методом (рисунок 23.2).

 

u

u 0

ui

Ошибка

x

x 1

x 0

O

Точное решение

Касательная f ′ (x 0, u 0)

 

 

Рисунок 23.2 – Начальный шаг метода Эйлера

В основе метода Эйлера лежит идея графического построения решения дифференциального уравнения. Однако этот метод даёт одновременно и способ нахождения искомой функции в табличной форме.

Пусть дано дифференциальное уравнение y ' = f (x, y). Найти приближённое численное решение этого дифференциального уравнения, т. е. составить таблицу приближённых значений функции y = y (x), удовлетворяющей заданным начальным условиям

 

x	x 1	x 2	x 3	x 4	x 5	x 6	…	xn
y	y 1	y 2	y 3	y 4	y 5	y 6	…	yn

 

где – шаг таблицы.

Приближённо можно считать, что правая часть в y ' = f (x, y) остаётся постоянной на каждом из отрезков между точками деления. Метод Эйлера состоит в непосредственной замене производной разностными отношениями по приближённой формуле

; ;

если x = x ₁, то

;

если x = x ₂, то

если x = x_{i +1}, то

.

Таким образом, получение таблицы значений искомой функции y (x) по методу Эйлера заключается в циклическом применении пары формул

,

где k = 0, 1, 2, …, n.

Геометрически эти формулы означают, что на отрезке [ x_i; x_{i +1}] интегральная кривая заменяется отрезком касательной к кривой (рисунки 23.3, 22.4).

y

x 3

x 4

L 1

x 0 x 1

O

L 2

L 3

y

xi + h

x

Li

xi

O

h

Δ yi

yi

 

Рисунок 23.3 – Интегральная кривая Рисунок 23.4 – Касательная к кривой

Пример 23.1. Проинтегрировать методом Эйлера дифференциальное уравнение с начальными условиями x ₀ = 0; y ₀ = 1.5 на отрезке [0; 1.5] при h = 0.25.