ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ. Математические уравнения, описывающие основные закономерности движения жидкостей и газов не позволяют получить результаты для подавляющего большинства случаев

Математические уравнения, описывающие основные закономерности движения жидкостей и газов не позволяют получить результаты для подавляющего большинства случаев важных в практике, поэтому эксперимент в механике жидкостей и газов иногда может быть единственным доступным способом изучения гидродинамических явлений.

Одним из основных методов эмпирического исследования гидродинамических процессов является их моделирование в лабораторных условиях, где как правило, исследуемые явления воспроизводятся на модели в совершенно другом масштабе, чем в натуральных условиях. Основой переноса результатов моделирования на натуральные условия является теория подобия.

В основе теории подобия гидродинамических явлений лежат общие условия механического подобия. Явления считаются механически подобными, если в них:

- одинаково отношение всех геометрических элементов – размеров. расстояний. углов. перемещений и т.п.;

- одинаково отношение кинематических параметров в сходственных точках;

- одинаково соотношение сил, действующих в сходственных точках и соответственных направлениях.

Таким образом, геометрическое подобие является подобием границ областей течений, кинематическое подобие подразумевает подобие полей местной скорости, а динамическое подобие подразумевает подобие системы приложенных сил.

Связь между любыми соответствующими геометрическими параметрами натурального и модельного потоков имеют вид:

 

, (1)

 

где индекс “н” – относится к геометрическим размерам

натурального потока;

индекс “м” – обозначает размеры модели;

- линейный масштаб или константа геометрического

подобия.

Кинематическое подобие состоит в том, что в любых сходственных точках отношение скоростей и проекций скоростей одинаково и равно масштабу скоростей , т.е. выполняется условие

. (2)

 

Теоретический анализ показывает, что из условия кинематического подобия автоматически следует геометрическое подобие линий тока, а для установившегося потока это условие означает и подобие траекторий.

Динамическое подобие состоит в том, что все силы одинаковой природы и их проекции, действующие на любую пару сходственных элементов, отличаются друг от друга в натуральном потоке модели постоянным масштабом , т.е. должны действовать одинаковые по природе силы и при этом выполняются условия

. (3)

Кинематическое и динамическое подобие могут иметь место только при наличии геометрического подобия.

Теория подобия показывает, что все гидродинамически подобные потоки можно описать абсолютно одинаковыми уравнениями и зависимостями, для приведения математического описания к единой форме все геометрические, кинематические и динамические параметры выражают в относительных единицах. Для этого в качестве масштаба измерения в каждом из потоков выбирается некоторый характерный размер ℓ₀, скорость υ₀, время t₀ и т.д.

В гидродинамически подобных потоках, где все безразмерные параметры одинаковы, соответственно и все уравнения, представленные в безразмерном виде должны быть одинаковы.

Рассмотрим подробнее динамическое подобие. Движение частиц жидкости, как известно, определяется силами, действующими внутри нее:

F_об – объемными силами (сила тяжести, подъемная

сила);

F_д – поверхностная сила давления;

F_ин – сила инерции.

Пренебрегая силами поверхностного натяжения, составим уравнение, выражающее принцип Д’Аламбера для двух подобно перемещающихся элементарных объемов

(4)

Разделим обе части уравнения (4) на Р_инτ

Из постулата Ньютона, касательные напряжения, действующие в жидкости равны

, Па (Н/м²) (5)

тогда сила внутреннего трения (вязкости) при движении жидкости

, (6)

где - элементарная площадка поверхности

соприкосновения двух слоев, м²;

- коэффициент динамической вязкости, Паּс;

- скорость перемещения слоев относительно друг

друга;

- расстояние площадки от начала координат.

Сила инерции по закону Ньютона

(7)

массу элементарного объема можно выразить

, кг (8)

ускорение, как известно,

, м/с² (9)

Правую часть уравнения (9) разделим и умножим нa

Пользуясь полученными значениями и , найдем их отношение:

, (10)

т.к. (линейный размер), (коэффициент кинематической вязкости), то уравнение (10) можно преобразовать

, (11)

Данный безразмерный комплекс представляет собой критерий Рейнольдса, физический смысл которого указывает на отношение сил инерции в потоке жидкости к силам вязкости.

Исходя из того, что

, (12)

где - давление на площадке элементарного объема

, найдем отношение

(13)

заменим отношение его конечным значением ,

где - линейный размер

, (14)

Безразмерный комплекс представляет собой критерий Эйлера, физический смысл которого определяется как отношение сил нормального давления к силам инерции.

Приняв в качестве действующих в элементарном объеме силу тяжести

, (15)

найдем отношение

, (16)

Безразмерный комплекс представляет собой критерий Фруда, физический смысл которого определяется как отношение сил инерции к силам тяжести

, (17)

Полученные критерии , и отражают баланс действующих в жидкости сил и по своему физическому смыслу характеризуют соотношение между этими силами.

Следует заметить, что все безразмерные комплексы или числа подобия можно разделить на два вида:

- определяемые – это числа, в которые входят искомые

переменные;

- определяющие – это числа, целиком составленные из

независимых переменных и постоянных величин,

входящих в условие однозначности.

Так, например, при описании нестационарного движения вязкой несжимаемой жидкости в число искомых величин входят проекции скорости , , и величина давления Р. Они будут определяемыми величинами. К числу определяющих безразмерных величин в данном случае можно отнести независимые переменные x, y, z, t и безразмерные комплексы, выраженные числами подобия , и .

Решение гидродинамических задач аналитическим путем или в результате обобщения экспериментальных данных сводится к установлению функциональных зависимостей определяемых параметров от определяющих.

, , )

, , ) (18)

, , )

, , )

Уравнения вида (18) называются уравнениями подобия.

 

Теория подобия

 

При моделировании изучение процесса в образце заменяется исследованием на модели. Условие моделирования, т.е. условие, которым должны удовлетворять модель и протекающий в ней процесс дает теория подобия.

Теория подобия основана на трех теоремах составляющих ее суть:

1. Подобные процессы должны быть качественно одинаковыми, т.е. они должны иметь одинаковую физическую природу и описываться одинаковыми по форме записи дифференциальными уравнениями.

2. Должны соблюдаться условия однозначности, т.е. граничные и начальные условия должны быть одинаковы во всем, кроме числовых значений размерных постоянных.

Условия однозначности для стационарных процессов

состоят из:

a) геометрических условий, полностью характеризующих форму и размеры канала, в котором происходит движение жидкости;

b) физических условий, характеризующих физические свойства рассматриваемой сплошной среды;

c) граничных условий, характеризующих особенности движения на границах потока.

3. Одноименные определяющие безразмерные переменные подобных процессов должны иметь одинаковые числовые значения.

Обработка данных в виде критериальных уравнений позволяет получить результаты в более универсальной форме обобщения.

Изучение моделирования в данной работе проводится на лабораторном стенде (рис.1), который включает в себя элементы дымового тракта современной металлургической печи.

Важнейшей характеристикой металлургических печей является их тепловая мощность, определяемая количеством полезно усвоенного тепла рабочем пространстве, которое ограничено пропускной способностью системы, отводящей продукты горения в воздухонагреватели, каналы, борова и дымовую трубу.

Оценить пропускную способность отводящей системы печи можно путем исследования модели, используя ее аэродинамическую характеристику – эквивалентное отверстие.

независимых

 

В механике газов известна аэродинамическая характеристика печей, называемая эквивалентным отверстием:

(19)

где V – количество газов, м³/сек;

- сумма потерь давлений на местные сопротивления и

трение, мм вод. ст.;

g, - соответственно ускорение сил тяжести и плотность газов, м/сек², кг/м³.

В наших опытах плотность воздуха принимаем =1,2 кг/м³; g = 9,8 м/сек².

Уравнение (19) можно преобразовать:

, (20)

где А = 4,04.

Из уравнения (20) видно, что эквивалентное отверстие связывает количество движущихся газов и потерю давления на преодоление местных сопротивлений (включая трение) при движении этого же количества газов. Как известно, эквивалентное отверстие является единственной характеристикой движущихся газов в системе печей, поэтому использование понятия об эквивалентном отверстии позволяет быстро производить различного рода расчеты механики газов.

В работе воспользуемся понятием об эквивалентном отверстии для определения количества продуктов горения, из уравнения (20)

предварительно вычислив величину эквивалентного отверстия по результатам исследования модели и воспользовавшись соотношениями теории подобия.

Согласно теории подобия отношение линейных размеров образца и модели, называемое масштабом модели, определяют:

, (21)

где - линейные размеры образца;

- линейные размеры модели.

Отношение сходственных площадей образца и модели составляет квадрат масштаба

. (22)

Отношение сходственных объемов образца и модели равно масштабу в кубе

. (23)

Поскольку эквивалентное отверстие имеет физический смысл отверстия определенной площади, через которое вытекает количество газов, равное количеству удаляемых из печи продуктов горения под давлением, равным сумме потерь на местные сопротивления и трение – можно вычислить с помощью масштаба величину эквивалентного отверстия для печи

, (24)

где Ф – эквивалентное отверстие образца (печи), м²;

- эквивалентное отверстие модели, м²;

М – геометрический масштаб модели.

В нашем случае М 1:20, т.к. установка, схема которой показана на рис.1 выполнена в одну двадцатую натуральной величины.

Подставив Ф из уравнения (24) и уравнение (20) получим:

, м³/сек. (25)

Из уравнения (25) видно, что для решения поставленной задачи требуется определить эквивалентное отверстие модели , задаваясь при этом некоторыми значениями величины , которая равна величине разряжения у дымовой трубы или на входе в дымосос действующей печи.

В нашем случае АМ² = 1616, поэтому уравнение (25) примет вид:

, м³/сек. (26)

Уравнение (26) в дальнейшем используем для составления характеристики пропускной способности исследуемой печи при различных значениях и определенной на модели величине .