МЕХАНИКА.

 

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 6

 

определение момента инерции твердых тел с помощью маятника максвелла

 

САНКТ-ПЕТЕРБУРГ

2011 г.

Цель работы - изучение маятника Максвелла и определение с его помощью момента инерции твердых тел.

 

Общие сведения

Момент инерции тела является мерой инертности тела при вращательном движении, подобно тому как масса тела является мерой инертности тела при поступательном движении. Момент инерции тела зависит от распределения массы тела относительно оси вращения. Для вычисления момента инерции твердого тела относительно данной оси разобьем мысленно тело на большое число весьма малых элементов - материальных точек. Тогда момент инерции тела

или

,

где D m_i - масса элемента; r_i - расстояние от элемента до оси вращения; r - плотность вещества в элементе объема dV, находящегося на расстоянии r от оси вращения. Таким образом, задача нахождения момента инерции сводится к интегрированию.

В данной работе момент инерции определяется экспериментально с помощью маятника Максвелла.

Маятник Максвелла представляет собой однородный диск С, через центр которого проходит металлический стержень D (рис.1). К концам этого стержня прикреплены две нити. Они тщательно, виток к витку, наматываются на стержень в направлении от его конца к диску. При освобождении маятника возникает поступательное движение вниз и вращательное вокруг оси симметрии. Вращение, продолжаясь по инерции в низшей точке движения (когда нити уже размотаны), приводит вновь к наматыванию нити на стержень, диск поднимается и движение снова повторяется, т.е. возникают колебания.

Выведем расчетную формулу для момента инерции маятника на основе закона сохранения энергии. Когда маятник поднят на высоту h, его полная энергия состоит только из потенциальной энергии E _п = mgh. В наинизшем положении маятника E _п = 0, а полная энергия равна сумме кинетических энергий поступательного и вращательного движений:

.

Из закона сохранения энергии следует, что полная энергия маятника в верхнем и нижнем положениях должна быть одинакова, т.е.

.

Отсюда момент инерции

(1)

Поскольку поступательное движение маятника возникает только за счет вращательного, то угловая (w) и линейная (u) скорости связаны соотношением

. (2)

Подставив уравнение (2) в (1), получим

. (3)

Для равнопеременного движения связь между h, u и t может быть записана в виде

.

Подставив выражение для u в формулу (3), получим окончательно

. (4)

Формулу (4) можно было бы вывести и на основе уравнений динамики для поступательного и вращательного движения.

 

Порядок выполнения работы

Общий вид установки представлен на рис.2. В основании 1 закреплена колонка 2, к которой прикреплен неподвижно верхний кронштейн 9 и подвижный нижний кронштейн 7. На верхнем кронштейне находится электромагнит 10 и фотоэлектрический датчик 11, а на нижнем кронштейне – фотоэлектронный датчик 3.

Маятник представляет собой диск 5, закрепленный на оси 6, подвешенной на двух нитях 4 (бифилярный подвес). На диск можно насаживать сменные кольца 12, изменяя таким образом момент инерции системы.

Маятник удерживается в верхнем положении электромагнитом 10. Фотоэлектрические датчики 3 и 11 соединены с электронным секундомером 2. Верхний электронный датчик задает момент начала движения маятника, а нижний - окончания движения (опускания) маятника.

Последовательность проведения измерений следующая:

1) надеть на диск маятника одно из колец (если оно не надето);

2) намотать на ось маятника нить подвески до фиксации маятника в верхнем положении электромагнитом;

3) измерить время падения маятника по прибору;

4) повторить пп.1-3 еще пять-десять раз;

5) по указанию преподавателя провести измерения еще с другими кольцами;

6) по измеренным значениям времени определить среднее значение времени падения маятника

и по шкале на вертикальной колонке прибора длину маятника h.

При обработке результатов эксперимента вычислить общую массу маятника , где m ₀ - масса оси; m _д - масса диска; m _к - масса кольца, и момент инерции маятника:

,

где R ₀ - радиус оси маятника.

 

Теоретическое значение момента инерции маятника

,

где J ₀ - момент инерции оси маятника,

;

J _к - момент инерции кольца, надетого на диск,

J _д - момент инерции диска,

R _д и R _к - радиусы диска и кольца соответственно.

Для полученного экспериментально значения момента инерции следует вычислить среднюю квадратичную погрешность

.

Записать окончательный результат в форме , сравнить экспериментальное значение J с теоретическим J _т.

 

Контрольные вопросы

 

1. Что такое момент инерции материальной точки?

2. Что такое момент инерции твердого тела?

3. От чего зависит величина момента инерции твердого тела?

4. Каков принцип действия маятника Максвелла?

5. Какие силы вызывают поступательное движение маятника?

6. Момент каких сил вызывает вращательное движение маятника?

7. Вывести формулу для определения момента nинерции с помощью маятника Максвелла.