Элементарные понятия “наивной” теории множеств

Теория множеств в той форме, в какой ее строил сам Кантор, еще до появления парадоксов, до четкого выделения ее аксиоматического базиса и использования современных средств математической логики, называется традиционно “наивной” теорией множеств. Она предполагает постоянную апелляцию к некоей общепринятой и неопределимой интуиции множества. И здесь должно заметить, что парадоксы и вся дальнейшая история развития теории множеств и представляли собой, по существу, как раз критику этой основной интуиции.

Исходное понятие множества тем самым предполагается наличным. Множества можно рассматривать в двух аспектах: а) как неупорядоченные и б) как наделенные некоторым порядком их элементов. Ясно, что первое рассмотрение есть более общий подход. Для любых (т.е., вообще говоря, неупорядоченных) множеств определяется понятие мощности множества. Сам Кантор определяет мощность следующим образом: “Мощностью” или “кардинальным числом” множества М мы называем то общее понятие, которое получается при помощи нашей активной мыслительной способности из М, когда мы абстрагируемся от качества его различных элементов m и от порядка их задания”^[12]. Кантор обозначает кардинальное число для множества М (две черты означают двойное абстрагирование из определения). Для мощностей определяются понятия равенства, больше, меньше. Мощности множеств А и В равны (или множества эквивалентны), если существует взаимно однозначное отображение множества А на все множество В. В этом случае пишут А=В. Если же существует взаимно однозначное отображение А на часть множества В, но не существует взаимно однозначного отображения В на часть А, тогда говорят, что А<В. Для кардинальных чисел (мощностей) строится своя арифметика. Суммой множеств А и В (без общих элементов) называется множество, состоящее из элементов как А, так и В: оно обозначается AÈB. Тогда сложение кардиналов по определению есть:

А+В = AÈB

Можно показать, что определение это корректно и получающаяся операция коммутативна и ассоциативна. Произведением двух множеств А={а} и В={b} называется множество С=А·В, состоящее из пар {(а;b)}, где аÎА, a bÎ В. Соответственно определяется умножение кардиналов

А·В = А·В

Так определенное умножение коммутативно, ассоциативно и дистрибутивно относительно сложения. Можно аналогично определить и возведение множеств в степень, которое также будет обладать традиционными (для чисел) свойствами. Мы тем самым построили некоторую арифметику кардинальных чисел. Для конечных множеств эта арифметика совпадает с обычной арифметикой натуральных чисел. Но поскольку с самого начала предполагалось, что рассматриваемые множества могут быть и бесконечными, тем же самым получена и арифметика бесконечных кардинальных чисел. Свойства бесконечных кардиналов уже отличаются от свойств конечных чисел. Так пусть Àо — первый бесконечный кардинал^[13], т.е. мощность множества натуральных чисел Àо = {n}. Тогда нетрудно показать, что Àо > n, Àо + 1 = Àо + n = Àо; Àо·2 = Àо·n = Àо·Àо = Àо; Àо² = Àо³ =... Àоⁿ = Àо

 

Восходя от Àо, можно построить целый ряд возрастающих кардиналов. “Из Àо по некоторому определенному закону получается ближайшее большее кардинальное число À₁, из него по тому же закону ближайшее большее À₂ и так далее. Но и неограниченная последовательность кардинальных чисел

Àо, À₁, À₂,..., À_n...

не исчерпывает понятия трансфинитного кардинального числа”^[14]. Кантор доказывает существование кардинального числа À_w ближайшего большего, чем все Àn далее À_w и так далее без конца.

Однако чтобы доказывать более тонкие теоремы для бесконечных множеств, одного “голого” понятия множества, лишенного всякой структуры, мало. Поэтому Кантор использует вместе с тем и упорядоченные множества, из которых соответственно и получается обобщение порядковых чисел — трансфинитные ординальные числа. Множество М называется, по Кантору, просто упорядоченным, если:

а) для любых двух его элементов m₁ и m₂ можно сказать какой из них занимает “более высокое” положение (пишут m₁ < m₂, если m₂ “выше” m₁);

б) для любых трех элементов m₁, m₂, m₃

m₁<m₂ вместе с m₂<m₃ влечет: m₁<m₃.

Всякому упорядоченному множеству М соответствует определенный порядковый тип, обозначаемый М. Под порядковым типом Кантор понимает “то общее понятие, которое получается из М, когда мы отвлекаемся от качества элементов +m, но сохраняем их порядковое расположение”^[15]. Два упорядоченных множества называются подобными, если их элементы можно поставить во взаимно однозначное соответствие с сохранением порядка. То есть если m₁<m₂ (в М), n₁ соответствует m₁, а n₂ соответствует m₂, то n₁<n₂ (в N). Тем самым порядковый тип характеризует весь класс подобных множеств. Для продуктивного развития теории нужны, однако не просто упорядоченные множества, а упорядочения с большими ограничениями. Вполне упорядоченным множеством называется просто упорядоченное множество, всякое подмножество которого содержит наименьший (“самый низкий”) элемент. Порядковый тип вполне упорядоченного множества называется соответствующим ему порядковым числом (или ординалом). Для вполне упорядоченных множеств и их порядковых типов (порядковых чисел) можно определить сравнение M<N и доказать теорему:

Если (a и b — два произвольных порядковых числа, то или a=b, или a<b, или a>b.

Для порядковых чисел (и даже для порядковых типов) можно определить сложение и умножение. А именно: если даны два упорядоченных множества

А = {...а₁,...а_n,...} и В = {...b₁,...b_m,...},

то мы составляем новое упорядоченное множество (А,В), в котором “все В идет за А”, а внутри каждого из множеств сохраняется исходный порядок: (А,В) = {...a₁,... a_n,... b₁,... b_m,...}.

Если a = A, b = B, то мы определяем порядковый тип a+b как порядковый тип множества (А,В):

a + b = (A, B)

Легко видеть, что это сложение уже некоммутативно. Пусть, например, w) есть порядковый тип множества Е = {e₁, e_2,,..e_n,,...}, e_n<e_n+1, а 1 — порядковый тип конечного множества из одного элемента f. Тогда 1+w ¹ w+1 (о, т.к. 1+ есть порядковый тип множества

(f,E) = {f, e₁,e₂,...e_n,...},

а w +1 является порядковым типом множества

(E,f) = {e₁, e₂,....e_v,..., f}.

Эти множества очевидно неподобны: у (E,f) есть последний элемент, а у (f,E) — нет. Однако нетрудно видеть, что 1+ w = w. И более общим образом, n + w = w, где n — любой конечный порядковый тип. Сложение порядковых типов некоммутативно, но оказывается ассоциативным^[16]: a + (b+g) = (a+b) + g. Кантор определяет также и умножение порядковых типов, которое тоже не будет коммутативным (но будет ассоциативным).

Итак, исходя из интуиции множества, Кантор строит систему кардинальных чисел и систему ординалов или порядковых чисел. Каждому ординалу соответствует вполне определенный кардинал, а именно мощность любого вполне упорядоченного множества, которое представляет данный ординал. Обратное соответствие уже сложнее. Каждое множество определенной мощности можно вполне упорядочить многими способами (бесконечным количеством способов, если оно бесконечно). Поэтому каждому бесконечному кардиналу соответствует бесконечное множество ординалов, которое Кантор называет числовым классом Z ().