Стохастические модели

При работе с радиоактивными изотопами в лаборатории доза внешнего облучения составила 100 мБЭР/час при 30-часовой рабочей неделе. Нужны ли в лаборатории меры по противорадиационной защите и какие?

 

Стохастические модели

Рассмотрим основные понятия теории вероятности, используемые в данном разделе.

Вероятность (P) – это численная мера возможности наступления какого-либо события.

Случайная величина (X) – это величина, которая в результате опыта принимает одно из множества возможных значений, причем появление значения этой величины до ее измерения предсказать нельзя. Случайные величины обозначаются заглавными буквами латинского алфавита. Возможные значения случайных величин обозначаются соответствующими малыми буквами латинского алфавита. Числовое значение x, которое приняла случайная величина X в каком-либо опыте, называется реализацией этой случайной величины. Множество значений, которые может принимать случайная величина X, называется областью возможных значений случайной величины X.

Запись X = x обозначает случайное событие, состоящее в том, что случайная величина X примет значение x, а запись X < x обозначает случайное событие, состоящее в том, что случайная величина X примет значение, меньшее некоторой фиксированной величины x.

Случайная величина может быть дискретной (принимает только счетное множество возможных значений) или непрерывной (принимает любое значение из некоторого интервала).

Исчерпывающей характеристикой случайной величины является закон ее распределения, которым называется любое соотношение, устанавливающее связь между возможными значениями случайной величины и вероятностями, соответствующими этим значениям. Основными разновидностями закона распределения случайной величины являются:

· ряд распределения;

· плотность вероятности;

· функция распределения;

· функция риска;

· производящая функция;

· характеристическая функция.

Из них ряд распределения и производящую функцию используют только для описания дискретных случайных величин, а плотность вероятности и функцию риска – только для описания непрерывных случайных величин. Функция распределения и характеристическая функция используются как в первом, так и во втором случае.

Ряд распределения дискретной случайной величины X – это совокупность всех ее возможных значений x ₁, x ₂, …, x _n и вероятностей p ₁, p ₂, …, p _n появления каждого из этих значений. Функция p (x) = P (X = x), устанавливающая связь между возможными значениями x и вероятностями их появления, называется функцией вероятности.

Плотностью вероятности (функцией плотности) (f (x)) непрерывной случайной величины X называется предел отношения вероятности попадания этой случайной величины в интервал (x, x + Δ x) к длине Δ x этого интервала, стремящейся к нулю:

Для количественной характеристики закона распределения вероятности удобно пользоваться не вероятностью события X = x, а вероятностью события X < x, где x – некоторая текущая переменная. Вероятность этого события соответственно зависит от x и является некоторой функцией от x. Эта функция называется функцией распределения случайной величины X и обозначается как F (x). Это неубывающая функция своего аргумента, на минус бесконечности она равна нулю, на плюс бесконечности – единице. Функция распределения F (x) непрерывной случайной величины x является первообразной функции плотности f (x): .

Функция риска (интенсивность) непрерывной случайной величины X – это функция, определяемая соотношением:

Это условная плотность вероятности неудачи в момент x при условии, что до момента x неудачи не было.

Производящей функцией (φ _x (t)) целочисленной случайной величины X называется такая функция действительной переменной t, которая представляет собой математическое ожидание случайной величины t^x:

Характеристической функцией случайной величины X является функция действительной переменной t, которая представляет собой математическое ожидание случайной величины e^itX:

где – мнимая единица; p (x) = P (X = x), x = 0, 1, 2, … – функция вероятности целочисленной случайной величины X; f (x) – плотность вероятности непрерывной случайной величины X.

Числовые характеристики случайной величины – это числовые параметры, характеризующие отдельные свойства распределения этой случайной величины. Наиболее важные из них – это характеристики положения, рассеяния, асимметрии и эксцесса.

Характеристика положения – числовой параметр, определяющий положение центра распределения случайной величины, вокруг которого располагаются ее возможные значения. Основные характеристики:

· математическое ожидание;

· медиана;

· мода.

Математическое ожидание (M) – среднее значение случайной величины X. Определяется соотношениями:

Медианой (Me) называется корень уравнения F (Me (X)) = 0,5.

Мода случайной величины X – это такое значение Mo (X) этой случайной величины, при котором функция вероятности (в дискретном случае) или плотность вероятности (в непрерывном случае) достигает максимума. Иногда обозначается как .

Антимода непрерывной случайной величины X – это такое значение этой случайной величины, при котором плотность вероятности f (x) достигает минимума.

Характеристика рассеяния – это числовой параметр, характеризующий степень рассеяния возможных значений случайной величины относительно центра ее распределения. К данным характеристикам относятся:

· дисперсия;

· среднее квадратическое (стандартное) отклонение;

· срединное (вероятное) отклонение;

· коэффициент вариации.

Дисперсия (D, или σ;²) случайной величины X – это математическое ожидание квадрата отклонения этой случайной величины от ее среднего значения:

Дисперсия случайной величины X характеризует рассеяние этой случайной величины относительно ее среднего значения .

Среднее квадратическое (стандартное) отклонение (σ;) случайной величины X – это положительное значение квадратного корня из дисперсии.

Срединное (вероятное) отклонение непрерывной случайной величины X, имеющей симметричное распределение – это число E, удовлетворяющее условию .

Коэффициент вариации (ν) случайной величины X – это отношение среднего квадратического отклонения этой случайной величины к ее среднему значению:

Коэффициент вариации используется в качестве характеристики рассеяния только неотрицательных случайных величин.

Математическое значение коэффициентов асимметрии и эксцесса детально рассмотрены в курсе теории вероятности. В общих чертах лишь напомним, что коэффициент асимметрии равен нулю, если распределение симметрично относительно прямой y = x _0,5. Он положителен, если длинная часть кривой распределения расположена справа от центра распределения, и отрицателен, если она расположена слева.

Коэффициент эксцесса характеризует «островершинность» распределения случайной величины. Эксцесс нормального распределения равен нулю. Положительный эксцесс указывает на то, что данное распределение имеет более острую вершину, чем соответствующее нормальное распределение. И наоборот отрицательный эксцесс указывает на более плоскую вершину.