Закон больших чисел. Формулировка Чебышева

 

Пусть случайные величины попарно независимы и Тогда для любого

 

Из этой сложной и малопонятной для нас теоремы следует

 

Теорема 1 (Об устойчивости средних).Пусть попарно независимы, и

Тогда для любого

 

Проиллюстрируем смысл этой теоремы на примере. Пусть требуется возможно более точно измерить вес некоторого тела с помощью весов, не имеющих систематической ошибки. Результат одного взвешивания этого тела (одного опыта) – значение случайной величины ξ;. Так как при взвешивании отсутствует систематическая ошибка, можно предположить, что истинный вес μ; этого тела равен математическому ожиданию случайной величины ξ: μ=Мξ;. Проведем n взвешиваний и возьмем среднее арифметическое (ξ₁+ ξ₂+…+ξ_n)/n их результатов ξ₁, ξ₂,…, ξ_n. Согласно теореме 1 при возрастании n это среднее арифметическое приближается (весьма сложным образом) к μ; – истинному весу тела. Таким образом, теорема 1 даем теоретическое обоснование широко используемому методу повышения точности измерений – надо провести несколько измерений и взять среднее арифметическое их результатов.

 

Теорема 2 (Теорема Бернулли). Пусть m - число наступления события А в n испытаниях Бернулли, p = P (A) - вероятность А в одном испытании. Тогда для любого

или - относительная частота наступления события А в серии из n опытов.

Значение этой теоремы невозможно переоценить.

Во-первых, теорема дала содержательную интерпретацию формально введенного понятия вероятности Р(А) некоторого события А – Р(А) показывает, насколько часто в серии опытов можно ожидать наступления события А.

Во-вторых, вероятность Р(А) некоторого события А, которую, как правило, невозможно найти математически, можно оценить, хотя бы и приближенно, с помощью относительной частоты наступления события А в серии опытов.