Свойства ПР

 

 

Непрерывные случайные величины (НСВ). Плотность распределения

Определение. Случайная величина ξ с ФР F (x) называется НСВ, если существует функция наз. плотностью распределения (ПР) случайной величины ξ.

Если ПР – непрерывная функция, то по теореме о производной от определенного интеграла по переменному верхнему пределу F’(x)=f(x) (см. свойство 4) ПР). Поэтому часто определение ПР случайной величины ξ с функцией распределения F(x) дают в виде f(x)=F’(x), если производная от функции распределения существует.

 

Свойства ПР

 

1) - геометрический смысл несобственного интеграла от неотрицательной функции f (x).

 

Рисунок

 

2) Для рисунок

||

 

3)

||

 

Следствие. Как правило, - конечная площадь).

 

4) Если f (x) – непрерывна, то

 

Отсюда следует, что как производная неубывающей функции – ФР F(x).

 

5) График ПР наглядно представляет ξ (в какой интервал она попадает с какой вероятностью): для фиксированного Δ x

 

График

 

График ПР f (x) наглядно характеризует случайную величину ξ

 

Аналог (по свойствам) ПР в случае ДСВ – ее многоугольник распределения.

На практике по результатам наблюдения случайной величины ξ часто оценивается ПР ξ, а затем ФР ξ!

Замечание. В отличие от ФР F(x) () плотность распределения f(x) может принимать значения, большие 1, но на интервалах малой длины, т.к. .