Декартовые координаты вектора в ПДСК на плоскости и в пространстве.

Мы рассмотрим сразу общий случай координатного пространства.Координатная плоскость будет частным случаем, хотя можно все рассуждения повторить (практически дословно) и для плоскости.

Пусть М – произвольная точка координатного пространства Охуz.

Определение. Вектор называется радиус-вектором точки М.

Введем обозначения:

, , .

Или, для произвольного вектора :

, , .

Определение. Проекции вектора на координатные оси называются его декартовыми координатами.

Теорема. (О координатах точки и ее радиус-вектора.)

Координаты точки М в ПДСК в пространстве совпадают с декартовыми координатами её радиус-вектора.

Доказательство.

 

рис.9.

По определению, координаты точки М есть координатыточек на координатных осях Ох, Оу, Оz соответственно, т.е. , , . Так как точки М и лежат в плоскости перпендикулярной оси Ох, то . По аналогичной причине и . Отсюда и следуют доказываемые равенства:

, , .

Теорема доказана.

Заметим, что положение точки М в пространстве однозначно определяется ее координатами, т.е. существует взаимно однозначное соответствие между всеми точками пространства и упорядоченными тройками действительных чисел – их координатами. Вследствие этого, координатное пространство обозначают как декартов куб множества действительных чисел: . (Соответственно координатную плоскость как декартов квадрат множества действительных чисел: )

Далее, очевидно, существует биекция и между всеми точкамипространства и их радиус-векторами, а значит и между радиус-векторами точек пространства и , т.е

их декартовыми координатами как упорядоченными тройками действительных чисел:

. (1)

В силу этого взаимно однозначного соответствия принято отождествлять радиус-вектор с упорядоченной тройкой его декартовых координат:

.

. (2)

Пусть – произвольный вектор пространства и, отложив его от начала координат, получим . Т.к. проекции вектора на оси не зависят от выбора точки его начала, то можно записать:

, (3)

т.е. существует взаимно однозначное соответствие между всемивекторами пространства и всеми упорядоченными тройками действительных чисел, их декартовыми координатами.

Отсюда сразу же вытекает следующая теорема.

Теорема. (О равенстве векторов.)

Два вектора равны тогда и только тогда, когда равны их декартовые координаты.

Определение. Запись вектора в виде (2) или (3) называется егокоординатной формой записи.

Теорема. (О действиях с векторами в координатной форме.) При сложении векторов их декартовые координаты складываются, а при умножении вектора на число каждая декартовая координата вектора умножается на это число.

Иначе, пусть , , . Тогда: 1) ;

2) .

Доказательство. Сразу же следует из свойств проекции вектора на ось:

. .

Аналогично доказывается второе утверждение теоремы.

Теорема доказана.

Теорема. (О вычислении декартовых координат вектора.)

Для того, чтобы вычислить декартовые координаты вектора нужно изкоординат его конца вычесть координаты его начала.

Иначе, пусть и , – координаты его начала и конца. Тогда

(4)

Доказательство. Пусть О(0; 0; 0) – начало координат. Тогда по правилу треугольника сложения векторов

рис.10.

. Векторы и являются радиус-векторами точек А и В соответственно и их декартовые координаты совпадают с координатами этих точек: , . Применяя теорему о действиях с векторами в координатной форме, получаем

.

Теорема доказана.