Пример 1. Решение. Для нахождения обратного оператора рассмотрим в уравнение , т
Решение. Для нахождения обратного оператора рассмотрим в
Нужно выяснить, при каких значениях
для уравнения (7) должна иметь единственное непрерывно дифференцируемое решение. Воспользовавшись формулой для общего решения линейного дифференциального уравнения первого порядка, получим общее решение уравнения (7):
Требуется узнать, при каких
Возможны два случая. а)
для любого
В силу теоремы Банаха об обратном операторе непрерывность этого оператора будет следовать из непрерывности оператора б)
Но правая часть этого уравнения при некоторых непрерывных у (например, при Итак, обратный к оператору
|
.
уравнение 
, т. е. линейное дифференциальное уравнение
. (7)
у этого уравнения для любого 
существует единственное решение 
. Другими словами, для любого 
(8)
. (9)
. (10)
. Тогда уравнение (11) имеет единственное решение
.
. Последний же факт легко доказать по Гейне. Действительно, если 
в пространстве 
, то это значит, что 
равномерно на 
. Но тогда и 
равномерно на 
. В этом случае уравнение (10) имеет вид
.
) не будет равна 0. Следовательно, при этих у последнее уравнение не имеет решения (относительно С), а потому оператор 
не является сюръективным.
существует тогда и только тогда, когда 
