Сжимающие отображения

Всюду ниже - метрическое пространство.

Определение. Отображение называется сжимающим, если оно удовлетворяет условию Липшица с константой Липшица . Другими словами, существует такое , что при всех выполняется неравенство

Определение. Точка из Х называется неподвижной для отображения , если .

Теорема (принцип сжимающих отображений). Сжимающее отображение А полного метрического пространства в себя имеет неподвижную точку, причем ровно одну.

При этом неподвижная точка может быть найдена методом последовательных приближений (итераций), т.е. как предел последовательности, заданной рекуррентным соотношением , где выбирается произвольно.

Оценка абсолютной погрешности приближенного равенства дается формулой

.

Теорема. Пусть k(t,s) и g(t) - непрерывные функции (). Отображение

в пространстве является сжимающим, если и только если , где . При этом .

2.6.1. Является ли отображение F метрического пространства X в себя сжимающим? Найти , где . Оценить расстояние от до неподвижной точки в случае, если F является сжимающим (таблица 2.6.1).

 

Таблица 2.6.1

 

Вариант	X	F

 

 

2.6.2. Применим ли принцип сжимающих отображений к заданному интегральному уравнению в пространстве Х при ? При найти приближенное решение с точностью до 0,01 и сравнить его с точным решением (таблица 2.6.2).

 

Таблица 2.6.2

 

Вариант	Х				Уравнение