Задачи и упражнения для самостоятельной работы

1. Найти ранг матриц:

а) ; б) ; в) ; г) .

D а) 3; б) 2; в) 1; г) 3. D

2. Найти ранг матриц:

а) ; б) ; в) ; г) .

D а) 2; б) 2; в) 3; г) 3. D

3. Найти ранги следующих матриц:

а) ; б) ; в) ; г) ;

д) ; е) .

D а) 2; б) 3; в) 4; г) 5; д) 2; е) 2. D

 

4. Найти ранги следующих матриц в зависимости от значений параметра:

а) ; б) ; в) ; г) .

D а) 1 для l = 10, 2 для любого l ¹ 10; б) 1 для a = 1; 2 для a ¹ 1; в) 1 для w = 1;

2 для w = 0 и w = –2; 3 для остальных w; г) 2 для l =3; 3 для остальных l. D

5. Найти матрицы обратные к заданной:

а) ; б) ; в) ;

г) ; д) ; е) .

D а) ; б) ; в) ; г) ;

д) ; е) . D

6. Найти матрицы обратные к заданной:

а) ; б) ;

в) ; г) .

D а) ; б) ; в) ; г) . D

7. Решить матричные уравнения:

а) ; б) ;

в) ; г) .

D а) ; б) ; в) ; г) . D

8. Решить матричные уравнения:

а) ; б) ;

в) ; г) .

D а) ; б) ; в) ; г) нет решений. D

 

9. Решить следующие матричные уравнения:

а) ; б) ;

в) ; г) .

D а) ; б) ; в) ; г) . D

10. Решить следующие матричные уравнения:

а) ; б) ;

в) ; г) .

D а) ; б) ; в) ; г) . D

11. Решить системы уравнений:

а) ; б) ;

в) ; г) .

D а) (–7, 24); б) (–1, 1); в) (2, –1, 1); г) (1, 2, –1). D

12. Решить системы уравнений (немного наблюдательности):

а) ; б) ;

в) ; г) .

D а) (1, 3, 0, 1); б) (4, 3, 2, 1); в) (–5, 4, 3, –2, 1); г) (1, 2, 3, –3, –2, –1). D

13. Решить системы уравнений по правилу Крамера:

а) ; б) ;

в) ; г) .

D а) (1, 1, 1); б) (0, –2, 0); в) (3, 8, 3); г) (1, 2, 4). D

14. Решить системы уравнений:

а) ; б) ;

в) ; г) .

D а) (0, 0, 0, 0); б) (0, 0, 0, 0, 0); в) (1, –1, 1, –1, 1); г) (1, 1, 0, 0, 0). D

15. Решить системы линейных однородных уравнений:

а) х – у = 0; б) х ₁ – х₂ +2 х ₃ = 0; в) х ₁ + х ₂ + х ₃ + х ₄ + х ₅ = 0.

D а) (h, h); б) (h ₁ – 2 h ₂, h ₁, h ₂); в) (– h ₁ – h ₂ – h ₃ – h ₄, h ₁, h ₂, h ₃, h ₄). D

 

16. Решить системы линейных однородных уравнений:

а) ; б) ;

в) ; г) .

D а) (3 h, –3 h, 2 h); б) (h, h, h); в) (h, –2 h, h); г) (h ₁ + 10 h ₂, h ₁ +7 h ₂, h ₁, 2 h ₂). D

17. Решить системы линейных однородных уравнений:

а) ; б) ;

в) ; г) ;

д) .

D а) (0, h, – h, h); б) (–2 h ₁ –3 h ₂, h ₁, h ₂, 0); в) (h ₁, h ₂, h ₃, h ₁ + h ₂ + h ₃, 3 h ₁ + 2 h ₂ + h ₃);

г) (h ₁, h ₁ + h ₂, h ₂, – 2 h ₁, – h ₂); д) (h ₁, h ₁ + h ₂, h ₂, – 2 h ₁, – h ₂). D

18. Найти базис и размерность пространства решений (фундаментальное решение) системы линейных однородных уравнений и выписать общее решение:

а) ; б) ;

в) ; г) .

D а) с (2, 1, 0, 0); б) (0, 0, 0); в) (0, 0, 0, 0, 0, 0); г) с ₁(1, 1, 1, 1, 0, 0) + с ₂(–1, 0, 0, 0, 1, 0) +

+ с ₃(0, –1, 0, 0, 0, 1) D

 

19. Решить системы линейных уравнений методом исключения неизвестных:

а) ; б) ;

в) ; г) .

D а) (1, 3, –2, 2); б) (–2, 1, 4, 3); в) (0, 2, 1/3, –3/2); г) система не определена:

х ₁ и х ₂ можно выразить через х ₃ и х ₄: х ₁ = 6 – 26 х ₃ + 17 х ₄; х ₂ = –1 + 7 х ₃ – 5 х ₄. D

20. Решить системы методом исключения неизвестных:

а) ; б) ;

в) ; г) .

D а) нет решений; б) нет решений; в) (2, 1, –3, 1); г) (–2, 1, 4, 3). D

21. Решить неоднородные системы линейных уравнений:

а) ; б) ;

в) ; г) .

D а) (2, 0) + с (3, 2); б) (1, 0, 0, 0) + с ₁(–1, 1, 0, 0) + с ₂(–2, 0, 1, 0) + с ₃(–3, 0, 0, 1); в) (0, 0, 4) +

+ с (1, 1, – 3); г) (6, 8, 0, 0, 0) + с ₁(–1, –1, 1, 0, 0) + с ₂(–1, –1, 0,1,0) + с ₃(–1, –1, 0, 0, 1). D

 

22. Исследовать на совместность и решить системы:

а) ; б) ;

в) ; г) .

D а) (3, 2, 1); б) (1, 1, 1, –1) + с ₁(1, 0, –15, 18) + с ₂(0, 1, 10, –12); в) (2, 1, 22/5, 8/5) +

+ с ₁(5, 0, 34, 16) + с ₂(0, 5, –17, –8); г) (1, 1, 8/13, –11/13) + с ₁(13, 0, –27, 3) + с ₂(0, 13, 9, –1). D

 

23. Исследовать системы на совместность и, в случае совместности, решить их:

а) ; б) ;

в) ; г) .

D а) (–1, 1, 0, 1) + с ₁(1, –5, 11, 0) + с ₂(–9, 1, 0, 11); б) (2, 1, 0, 0) + с ₁(1, 0, 22, –16) +

+ с ₂(0, 1, –33, 24); в) (–1, 1, 0, 1) + с ₁(1, 0, –3, 0) + с ₂(0, 1, –4, 0); г) система не совместна. D

24. Решить неоднородные системы уравнений:

а) ; б) ;

в) ; г) .

D а) (1 – h ₁, – h ₂, 1 + h ₁ + 2 h ₂, –1 + 2 h ₁ + 3 h ₂); б) (–1 – 5 h, 6 h, –1 – 5 h, 1 + 7 h);

в) (2 +4 h ₁ –11 h ₂ –14 h ₃, 1–22 h ₁+32 h ₂ +23 h ₃, –1+3 h ₁, –1+15 h ₂, –1+15 h ₃); г) (–2– h,– h, 2+ h, 1). D

25. Исследовать системы и найти общее решение в зависимости от l:

а) ; б) ;

в) ; г) .

D а) l ¹ 5 – нет решений; l = 5: , х ₃, х ₄ – любые; б) l = –2

– нет решений; l = 1: х ₁ = 1 – х ₂ – х ₃; l ¹ 1 и l ¹ –2: ;

в) Если l ¹ 1 и l ¹ –2 – единственное решение ; если l = 1:

х ₁ = 1 – х ₂ – х ₃ (х ₂, х ₃ – любые); если l = –2 – нет решений; г) Если l ¹ 0 и l ¹ –3 –

еди­­­н­­­­­­­­­­­ственное решение: ; l = 0 или

l = –3 система не совместна. D

26. Решить системы линейных уравнений с заданными расширенными матрицами:

а) ; б) ;

в) ; г) .

D а) , х ₃, х ₄ – любые; б) х ₁ = –5– х ₃+5 х ₄, х ₂ = – 4 + х ₃ +4 х _4,

х ₃, х ₄ – любые; в) , х ₂ = 2 х ₁– 2, х ₃, х ₁ – любые; г) х ₁ = 1 + х ₃ – х ₄,

х ₂ = 2 – х ₃ + 2 х ₄, х ₃, х ₄ – любые. D

27. Решить системы линейных уравнений с заданными расширенными матрицами:

а) ; б) ;

в) ; г) ;

д) ; е) .

D а) х ₁ = 1 + х ₃ – х ₄, х ₂ = 2 – х ₃ + 2 х ₄, х ₃, х ₄ – любые; б) х ₁ = –11 + 11 х ₃ + 5 х ₄,

х ₂ = 4 – 2 х ₃ – х _4, х ₃, х ₄ – любые; в) х ₁ = 1 – 3 х ₃ + х ₄, х ₂ = 1 – 4 х ₃ + 2 х ₄, х ₃, х ₄ – любые;

г) , х ₃, х ₁ – любые; д) (8, –5, 10, –5);

е) х ₁ = –1 – 3 х ₃ + 3 х ₄, х ₂ = 1 + х ₃ – 2 х ₄, х ₃, х ₄ – любые. D

ЛИТЕРАТУРА

 

 

1. Курош А.Г. Курс высшей алгебры. – М.: Наука, 1975.

2. Гельфанд И.М. Лекции по линейной алгебре. – М.: Наука, 1971.

3. Мальцев А.И. Основы линейной алгебры. – М.: Наука, 1970.

4. Ильин В.А., Позняк Э.Г. Линейная алгебра. – М.: Наука, 1973.

5. Шилов Г.Е. Математический анализ. Конечномерные линейные пространства. – М.: Наука, 1969.

6. Головина Л.И. Линейная алгебра и некоторые ее приложения. – М.: Наука, 1985.

7. Бутузов В.Ф., Крутицкая Н.Ч., Шишкин А.А. Линейная алгебра в вопросах и задачах. – М.: Физматлит, 2001.

8. Проскуряков И.В. Сборник задач пол линейной алгебре. – М.: Наука, 1974.