Зависимость импульса от скорости. Основное уравнение релятивистской механики

Принцип относительности Эйнштейна утверждает инвариантность всех законов природы по отношению к переходу от одной инерциальной системе отсчета к другой. Это значит, что все уравнения, описывающие законы природы, должны быть инвариантны относительно преобразований Лоренца. К моменту создания СТО теория, удовлетворяющая этому условию, уже существовала – это электродинамика Максвелла. Однако уравнения классической механики Ньютона оказались неинвариантными относительно преобразований Лоренца, и поэтому СТО потребовала пересмотра и уточнения законов механики.

 

В основу такого пересмотра Эйнштейн положил требования выполнимости закона сохранения импульса и закона сохранения энергии в замкнутых системах. Для того, чтобы закон сохранения импульса выполнялся во всех инерциальных системах отсчета, оказалось необходимым изменить определение импульса тела. Вместо классического импульса в СТО релятивистский импульс тела с массой m, движущегося со скоростью записывается в виде

 

Если принять такое определение, то закон сохранения суммарного импульса взаимодействующих частиц (например, при соударениях) будет выполняться во всех инерциальных системах, связанных преобразованиями Лоренца. При β → 0 релятивистский импульс переходит в классический. Масса m, входящая в выражение для импульса, есть фундаментальная характеристика частицы, не зависящая от выбора инерциальной системы отсчета, а, следовательно, и от скорости ее движения. (Во многих учебниках прошлых лет ее было принято обозначать буквой m0 и называть массой покоя. Кроме того, вводилась так называемая релятивистская масса, равная зависящая от скорости движения тела. Современная физика постепенно отказывается от этой терминологии).

Основной закон релятивистской динамики материальной точки записывается так же, как и второй закон Ньютона:

 

 

но только в СТО под импульсом понимается релятивистский импульс частицы. Следовательно,

 

 

Так как релятивистский импульс не пропорционален скорости частицы, скорость его изменения не будет прямо пропорциональна ускорению. Поэтому постоянная по модулю и направлению сила не вызывает равноускоренного движения. Например, в случае одномерного движения вдоль оси x ускорение частицы под действием постоянной силы оказывается равным

 

 

Если скорость классической частицы беспредельно растет под действием постоянной силы, то скорость релятивистской частицы не может превысить скорость света c в пустоте. В релятивистской механике, так же, как и в механике Ньютона, выполняется закон сохранения энергии. Кинетическая энергия тела Ek определяется через работу внешней силы, необходимую для сообщения телу заданной скорости. Чтобы разогнать частицу массы m из состояния покоя до скорости υ0 под действием постоянной силы F, эта сила должна совершить работу

 

 

Поскольку a dt = dυ, окончательно можно записать:

 

 

Вычисление этого интеграла приводит к следующему выражению для кинетической энергии (индекс «ноль» при скорости υ опущен):

 

 

Эйнштейн интерпретировал первый член в правой части этого выражения как полную энергию E движущийся частицы, а второй член как энергию покоя E0:

 

E₀ = mc² .

 

Кинетическая энергия Ek релятивистской динамики есть разность между полной энергией E тела и его энергией покоя E0:

 

E_k = E – E₀.

 

 

Рисунок 4.5.1.

Зависимость кинетической энергии от скорости для релятивистской (a) и классической (b) частиц. При υ << c оба закона совпадают.

Чрезвычайно важный вывод релятивистской механики заключается в том, что находящаяся в покое масса m содержит огромный запас энергии. Это утверждение имеет разнообразные практические применения, включая использование ядерной энергии. Если масса частицы или системы частиц уменьшилась на Δm, то при этом должна выделиться энергия ΔE = Δm · c2. Многочисленные прямые эксперименты дают убедительные доказательства существования энергии покоя. Первое экспериментальное подтверждение правильности соотношения Эйнштейна, связывающего массу и энергию, было получено при сравнении энергии, высвобождающейся при радиоактивном распаде, с разностью масс исходного ядра и конечных продуктов. Например, при бета-распаде свободного нейтрона появляется протон, электрон и еще одна частица с нулевой массой – антинейтрино:

 

 

При этом суммарная кинетическая энергия конечных продуктов равна 1,25·10–13 Дж. Масса нейтрона превышает суммарную массу протона и электрона на Δm = 13,9·10–31 кг. Такому уменьшению массы должна соответствовать энергия ΔE = Δm · c2 = 1,25·10–13 Дж, равная наблюдаемой кинетической энергией продуктов распада.

 

Чтобы возникло ощущение масштабов этого явления в макромире, рассмотрим такой пример. При взрыве 1 т тринитротолуола высвобождается энергия 4,2·109 Дж. При взрыве мегатонной бомбы выделится энергия 4,2·1015 Дж. Соответствующая этой громадной энергии масса m = E / c2 оказывается равной всего 46 г. Таким образом, при взрыве ядерной мегатонной бомбы масса ядерной «взрывчатки» должна уменьшится примерно на 50 г. Полная первоначальная масса водородной бомбы, эквивалентной по мощности 1 мегатонне тринитротолуола, примерно в 1000 раз больше и составляет около 50 кг.

 

Закон пропорциональности массы и энергии является одним из самых важных выводов СТО. Масса и энергия являются различными свойствами материи. Масса тела характеризует его инертность, а также способность тела вступать в гравитационное взаимодействие с другими телами. Важнейшим свойством энергии является ее способность превращаться из одной формы в другую в эквивалентных количествах при различных физических процессах – в этом заключается содержание закона сохранения энергии. Пропорциональность массы и энергии является выражением внутренней сущности материи. Формула Эйнштейна

E₀ = mc²

выражает фундаментальный закон природы, который принято называть законом взаимосвязи массы и энергии.

 

Комбинируя выражение для релятивистского импульса и выражение для полной энергии E, можно получить соотношение, связывающее эти величины. Для этого удобно эти формулы переписать в следующем виде:

 

 

 

Вычитая почленно, можно получить:

E² = (mc²)² + (pc)².

 

Отсюда еще раз следует, что для покоящихся частиц (p = 0) E = E₀ = mc².

 

Полученное соотношение показывает, что частица может иметь энергию и импульс, но не иметь массы (m = 0). Такие частицы называются безмассовыми. Для безмассовых частиц связь между энергией и импульсом выражается простым соотношением E = pc.

К безмассовым частицам относятся фотоны – кванты электромагнитного излучения и, возможно, нейтрино. Безмассовые частицы не могут существовать в состоянии покоя, во всех инерциальных системах отсчета они движутся с предельной скоростью c.