Пересечение прямой с плоскостьюПусть требуется найти пересечение прямой l
с плоскостью π A x + B y + C z + D = 0 (π). Для этого необходимо решить систему уравнений (l) + (π). Проще всего решение этой системы можно получить, если записать уравнения прямой l в параметрическом виде
Подставляя эти выражения для x, y и z в уравнение (π) для плоскости, получим линейное уравнение относительно параметра t
Если прямая l не параллельна плоскости π, т.е. если Am + Bn + Cp ≠ 0, то из предыдущего выражения находим значение параметра t:
В результате из параметрических уравнений прямой определяем координаты точки пересечения прямой l с плоскостью π. Рассмотрим теперь случай, когда Am + Bn + Cp = 0 (l ||π): 1) если G = A x0 + B y0 + C z0 + D ≠ 0, то прямой l параллельна плоскости π и её пересекать не может; 2) если G = A x0 + B y0 + C z0 + D = 0, уравнение (3.39) относительно параметра t (0 ∙ t + 0 = 0) удовлетворяется при любом значении параметра, т.е. любая точка прямой является точкой пересечения прямой и плоскости. Таким образом, одновременное выполнение равенств
является условием принадлежности прямой l плоскости π.
|
(l)
.
.
. (3.39)
