Криволинейный интеграл 1 типа (по длине дуги)

Криволинейный интеграл 1-го рода.

Пусть - отрезок кусочно-гладкой кривой с началом в точке и концом в точке и - ограниченная функция, определенная в некоторой области, содержащей кривую . Выберем на кривой произвольные точки , разбивая ее на элементарные отрезки (разбиение ), длина каждого . Обозначим . Пусть - произвольная точка на элементарном отрезке . Составим интегральную сумму . Если независимо от разбиения и выбора точек существует , то он называется криволинейным интегралом по длине кривой (1-го рода) и обозначается .

Аналогично определяется криволинейный интеграл 1-го рода от функции трех переменных по отрезку пространственной кривой.

Свойства и вычисление криволинейного интеграла по длине дуги.

Криволинейный интеграл 1-го рода не зависит от направления движения по кривой, то есть . Это единственное свойство, которое не совпадает с обычными свойствами интегралов, определяемых через предел интегральной суммы. Если - отрезок кусочно-гладкой кривой, заданной параметрически:
, то криволинейный интеграл вычисляется по формуле:
. Если плоская кривая задана в явном виде, то криволинейный интеграл вычисляется по формуле: .