Обработка результатов эксперимента. Метод наименьших квадратов

Эксперименты проводят для выявления функциональных зависимостей между величинами характеризующими исследуемый объект или процесс. Получается таблица:

x	*0	*1		*п
У	Ус	У1		Уп

По ней получают приближённую формулу, описывающую исследуемую зависимость. Такая формула называется эмпирической функций. Данные, полученные в результате эксперимента, не точны. Т.е. обладают некоторой погрешностью. Если же погрешность велика, то для построения эмпирической формулы интерполяционные многочлены нельзя использовать, т.к. график этих многочленов проходит через экспериментальные точки и мы тщательно повторим ошибки эксперимента. Для построения эмпирической функции используют формулы, которые позволяют сглаживать ошибки эксперимента.

Задача аппроксимации функции может ставиться, когда исходные данные содержат погрешности (рис. 4.3а), повторы (рис. 4.3б) или очень большое количество точек (рис. 4.3в). В этих случаях аппроксимация на основе интерполяции не имеет смысла или невозможна.

а)	б)	в)
Рис. 4.3. Аппроксимация функции сглаживанием.

Для задачи аппроксимации сглаживанием критерий близости аппроксимирующей функции к исходным данным , рассматривается как минимальное отклонение значений в заданных точках. Количественно отклонение может быть оценено различными способами. Наибольшее распространение получил метод наименьших квадратов (МНК), согласно которому необходимо минимизировать сумму квадратов:

Линейная аппроксимация. В случае линейной формулы сумма квадратов (4.3) принимает вид:

(4.4)

Функция (4.4) имеет минимум в точках, в которых частные производные от по параметрам и обращаются в нуль, т.е.

, (4.5)

 

(4.6)

Полиномиальная аппроксимация. В случае выбора зависимости в виде полинома, например, 2-й степени и (4.3) принимает вид:

(4.8)

Функция (4.8) имеет минимум в точках, в которых частные производные от по параметрам , , обращаются в нуль, т.е.:

, , (4.9)

В результате дифференцирования и элементарных преобразований для определения параметров получают систему из трех линейных уравнений с тремя неизвестными:

Или