Свойства плотности вероятности

• Плотность вероятности определена почти всюду. Если является плотностью вероятности и почти всюду относительно меры Лебега, то и функция также является плотностью вероятности .

• Интеграл от плотности по всему пространству равен единице:

.

Обратно, если — неотрицательная п.в. функция, такая что , то существует абсолютно непрерывная вероятностная мера на такая, что является её плотностью.

• Замена меры в интеграле Лебега:

,

где любая борелевская функция, интегрируемая относительно вероятностной меры .

Распределение Максвелла характеризует распределение молекул по значениям кинетической энергии (то есть показывает, какова вероятность при данной температуре иметь именно такое значение кинетической энергии).

График функции распределения Максвелла

,

приведен на рисунке 2.6.

Рис. 2.6

Из графика видно, что при «малых» υ, т.е. при , имеем ; затем достигает максимума А и далее экспоненциально спадает .

6) Функция распределения Максвелла для трёхмерного газа и её анализ

7) Барометрическая формула (вывод с учётом связи силы и потенциальной энергии). Распределение Больцмана. Понятие отрицательной температуры. Распределение по энергиям.

Барометрическая формула — зависимость давления или плотности газа от высоты в поле тяжести.

Для идеального газа, имеющего постоянную температуру и находящегося в однородном поле тяжести (во всех точках его объёма ускорение свободного падения одинаково), барометрическая формула имеет следующий вид:

где — давление газа в слое, расположенном на высоте , — давление на нулевом уровне (), — молярная масса газа, — газовая постоянная, — абсолютная температура. Из барометрической формулы следует, что концентрация молекул (или плотность газа) убывает с высотой по тому же закону:

где — масса молекулы газа, — постоянная Больцмана.

Барометрическая формула может быть получена из закона распределения молекул идеального газа по скоростям и координатам в потенциальном силовом поле (см. Статистика Максвелла — Больцмана). При этом должны выполняться два условия: постоянство температуры газа и однородность силового поля. Аналогичные условия могут выполняться и для мельчайших твёрдых частичек, взвешенных в жидкости или газе. Основываясь на этом, французский физик Ж. Перрен в 1908 году применил барометрическую формулу к распределению по высоте частичек эмульсии, что позволило ему непосредственно определить значение постоянной Больцмана.

Вывод барометрической формулы
Барометрическая формула

В данном разделе мы выведем зависимость давления газа P от высоты h над уровнем моря в гравитационном поле Земли.

Возьмем произвольную цилиндрическую колонну газа с площадью сечения S и высотой h. Тогда вес выделенного объема газа будет равен

где ρ; означает плотность газа. Плотность газа будет выражаться следующей формулой:

Теперь представим такую колонну в атмосфере и выделим в ней тонкий слой воздуха высотой dh (рисунок 1). Ясно, что такой слой вызывает изменение давления на величину

Мы поставили здесь знак минус, поскольку давление должно уменьшаться с увеличением высоты.

Рис.1		Рис.2

Рассматривая атмосферный воздух как идеальный газ, воспользуемся уравнением Менделеева-Клапейрона, чтобы выразить плотность ρ; через давление P:

Здесь T − абсолютная температура, R − универсальная газовая постояная, равная , M − молярная масса, которая для воздуха равна . Отсюда следует, что плотность определяется формулой

Подставляя это в дифференциальное соотношение для dP, находим:

В результате мы получаем дифференциальное уравнение, описывающее давление газа P как функцию высоты h. Интегрирование приводит к следующему уравнению:

Избавляясь от логарифмов, получаем так называемую барометрическую формулу

Распределение Больцмана — распределение вероятностей различных энергетических состояний идеальной термодинамической системы (идеальный газ атомов или молекул) в условиях термодинамического равновесия; открыто Л. Больцманом в 1868—1871.

Согласно распределению Больцмана среднее число частиц с полной энергией E_i равно

где N_i — кратность состояния частицы с энергией E_i — число возможных состояний частицы с энергией E_i. Постоянная Z находится из условия, что сумма n_i по всем возможным значениям i равна заданному полному числу частиц n в системе (условие нормировки):

∑	ni = n.
i

В случае, когда движение частиц подчиняется классической механике, энергию E_i можно считать состоящей из

• кинетической энергии (кин) частицы (молекулы или атома),
• внутренней энергии (вн) (например, энергии возбуждения электронов) и
• потенциальной энергии (пот) во внешнем поле, зависящей от положения частицы в пространстве:

Отрицательная абсолютная температура — температура, характеризующая равновесные состояния термодинамической системы, в которых вероятность обнаружить систему в микросостоянии с более высокой энергией выше, чем в микросостоянии с более низкой.