Совсем голяк, формулы есть, но не хрена не понятно, а выводы на 5 страниц, посмотреть можно в лекция про нормированные пространства

 

75. Определение нормированного пространства. Примеры нормированных пространств.

 

Определение 1. Линейное пространство называется нормированным пространством, если каждому поставлено в соответствие неотрицательное число (норма ) так, что выполнены следующие три аксиомы:

a) в том и только в том случае, когда

b) ;

c) .

Таким образом, норма — это определенная всюду на функция с неотрицательными значениями и со свойствами 1)—3).

Определение 2. Множество называется метрическим пространством, если каждой паре его элементов и поставлено в соответствие вещественное число , удовлетворяющее аксиомам a), b), c). Таким образом, метрические пространства можно считать обобщениями нормированных пространств.

 

Пример 1. В вещественном линейном пространстве -мерных столбцов введем норму

Аксиомы нормы 1) и 2) выполняются тривиально. Неравенство треугольника (аксиома 3)), известное из курса линейной алгебры, будет доказано позже в более общем случае.

Полученное нормированное пространство в линейной алгебре известно как евклидово пространство и обозначается .

Пример 2. Пространство . Введем в норму

Проверим аксиомы нормы

1) ‑ это очевидно. Пусть , т.е. ; но тогда все и .

2) , откуда вытекает однородность нормы.

3) , т.е. . Переходя в этом неравенстве слева к по , получим неравенство треугольника.

 

Задаченьки для студентиков ^___^

 

Это первая лаба, второй к превеликому сожалению нигде нет и это очень грустно, хнык T_T

Напоминлка про операции с матрицами, вдруг пригодится.