Выпуклость и вогнутость кривой на промежутке.Точка перегиба графика функцииНеобходимое и достаточное условия существования точки перегиба. Определение 1: Кривая называется выпуклой (обращена выпуклостью вверх) на интервале Определение 2: Кривая называется вогнутой (обращена выпуклостью вниз) на интервале
Рассмотрим теперь достаточный признак, позволяющий установить, является ли график функции в данном интервале выпуклым или вогнутым. Теорема 1: Пусть функция Определение 3: Точка графика непрерывной функции, отделяющая его выпуклую часть от вогнутой, называется точкой перегиба.
рис 2. На рисунке 2 изображён график функции y = x 3 Точкой перегиба является точка 0. Нахождение точек перегиба графика функции основано на следующих двух теоремах. Теорема 2: (достаточный признак существования точки перегиба). Если вторая производная Теорема 3: (необходимый признак существования точки перегиба). Пусть функция Абсциссы точек перегиба графика непрерывной функции следует искать среди тех точек, в которых вторая производная или равна нулю или разрывна (в частности, не существует). Пример: Функция y = x 3 является вогнутой при x > 0 и выпуклой при x < 0. В самом деле, y'' = 6 x, но 6 x > 0 при x > 0 и 6 x < 0при x < 0, следовательно, y'' > 0 при x > 0 и y'' < 0 при x < 0, откуда следует, что функция y = x 3 является вогнутой при x > 0 и выпуклой при x < 0. Тогда x = 0 является точкой перегиба функции y = x 3. График функции на рисунке 2. 5. Правило исследования функции на выпуклость вогнутость кривой и нахождения точек перегиба графика функции. 1. Находим область определения функции, а заодно устанавливаем интервалы ее непрерывности и точки разрыва (стандартное начало любого исследования функции). 2. Находим вторую производную y′′=f′′;(x). Находим те точки (значения x), в которых вторая производная функции или равна нулю, или не существует. Для этого надо решить уравнение y′′=0 и найти область определения y′′. 3. Наносим все найденные (подозрительные на перегиб) точки на область определения функции (на ось ох) и отмечаем (например, дугами) интервалы, на которые разобьется этими дугами область определения функции. В каждом из этих интервалов выясняем знак второй производной y′′=f′′;(x). По установленным знакам этой производной отмечаем интервалы выпуклости (выпуклости вверх) и вогнутости (выпуклости вниз) функции (при y'' < 0 – выпуклость, при y'' > 0 – вогнутость), а также точки перегиба функции. 4. Вычисляем значения функции y=f(x) во всех найденных точках ее перегиба и находим тем самым точки перегиба графика функции. Пример:Исследовать на выпуклость и точки перегиба функцию у = Проведём исследование по схеме: 1. Функция у = 2. Найдём 3. Найдём точки, в которых y'' = 0: 4. Отметим на оси (ох) точку х = 1. Определим знаки y'' слева и справа от точки х = 1. Слева y''
6. Асимптоты графика функции: вертикальные, горизонтальные, наклонные. Определение. Асимптотой графика функции Различают три типа асимптот: горизонтальные, вертикальные и наклонные. 1. Прямая линия 2. Прямая 3. Наклонные асимптотыописываются общим уравнением прямой линии на плоскости, то есть Если На рисунке 2 изображены вертикальная и наклонная асимптоты.
Пример 1. Решение:Найдём вертикальную асимптоту. Точка х = -1 является точкой разрыва 2-го рода, причём
Таким образом, получаем уравнение наклонной асимптоты Пример 2. Решение: Вертикальных асимптот здесь нет, поскольку точки разрыва 2-го рода отсутствуют. Найдём наклонную асимптоту:
Таким образом, уравнение наклонной асимптоты имеет вид у = х. 7. Правило нахождения наибольшего и наименьшего значений функции на промежутке [a;b]. Определение1. Говорят, что функция Теорема 1. Если функция
 дифференцируема на интервале  , то она достигает на отрезке  наибольшего и наименьшего значений либо в точках экстремума, принадлежащих этому отрезку, либо на концах отрезка.
(рисунок 1.) Для функции, график которой изображен на рисунке 1, имеются две точки максимума ( Алгоритм нахождения наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке 1. Найти производную функции 2. Приравнять производную к нулю и найти критические точки функции 3. Отметить критические точки на области определения 4. Вычислить знак производной в каждом из полученных интервалов 5. Выяснить поведение функции в каждом интервале 7. Учитывая поведение функции, определить точки максимума и точки минимума и значения функций в этих точках. 8. Найти значения функции на концах отрезка
|
, если все точки кривой лежат ниже любой ее касательной на этом участке.
, если все точки кривой лежат выше любой ее касательной на этом участке.
имеет вторую производную 
во всех точках некоторого интервала 
, то график функции в этом интервале выпуклый (имеет выпуклость вверх), если же 
, то – вогнутый (имеет выпуклость вниз).
, то эта точка является точкой перегиба графика функции.
является точкой перегиба графика данной функции, то 
.
- 
многочлен, а это значит, что она имеет область определения – множество R.
= 
y'' = 
-6.
- 6 = 0 ⇒ х = 1; y'' – существует при любом значении х.
, а это означает, что на промежутке (
1) выпуклость графика имеет направление вверх. Справа от точки х = 1 y'' 
, это значит, что на промежутке (1; 
выпуклость графика имеет направление вниз.
называется прямая (кривая) линия, к которой стремится линия графика, но не пересекает её.
является вертикальной асимптотой графика 
. Прямая 
может быть вертикальной асимптотой и в том случае, если 
- точка разрыва второго рода или граничная точка области определения. Например, 
в точке 
. Следовательно, определение вертикальных асимптот функции совпадает с нахождением точек разрыва второго рода.
является горизонтальной асимптотой, если 
. При условии 
, находят правостороннюю горизонтальную асимптоту 
, то 
. Значит, в отличие от вертикальных асимптот, здесь необходимо определить числа 
и 
. 
. Зная 
, рассмотрим снова предел: 
. Он выполняется лишь при условии, что 
. Таким образом, найдены 
и 
, а с ними и уравнение наклонной асимптоты.
, то получаем частный случай горизонтальной асимптоты 
. При невозможности найти хотя бы один предел (при вычислении 
— вертикальная асимптота; 
– наклонная асимптота.
, 
. Затем находим наклонные асимптоты: 
;
, если для любого 
имеет место неравенство 
(
).
Рисунок 1
) и одна точка минимума (
), но её наибольшее значение равноf(
, а наименьшее значение равно f(a).
.
