Условная вероятность

ОЛ-1, гл. 3.

Вероятность события A, вычисленную в предположении, что событие B произошло, принято называть условной вероятностью и обозначать P(A | B).

Классическая схема. Пусть событиям A и B благоприятствуют N_A и N_B элементарных исходов соответственно. Посмотрим, что дает нам имеющаяся информация о событии B. Поскольку событие B произошло, то достоверно известно, что в результате опыта появился один из N_B элементарных исходов, составляющих событие В. Значит, теперь уже при определении степени возможности события A необходимо выбирать только из N_B возможных исходов, причем событию A благоприятствуют N_AB исходов, при которых происходят и событие А, и событие B, или, другими словами, происходит событие AB. При этом по-прежнему будем считать все N_B входящих в событие B исходов равновероятными. Поэтому условную вероятность P(A | B) события A при условии события B в рамках классической схемы вероятности естественно определить как отношение числа N_AB исходов, благоприятствующих совместному осуществлению событий A и B, к числу N_B исходов, благоприятствующих событию В, т.е.

Статистический подход. Пусть n – общее число экспериментов; n_A – число экспериментов, в которых наблюдалось событие A; n_B – число экспериментов, в которых наблюдалось событие B, n_AB – число экспериментов, в которых наблюдалось событие AB. Условной частотой события A при условии, что B произошло естественно назвать частоту события A, но только не среди всех повторений опыта n, а лишь среди тех, в которых наблюдалось событие В, т.е.

Определение. Условной вероятностью события A при условии (наступлении) события B называют отношение вероятности пересечения событий A и B к вероятности события B:

При этом предполагают, что .

В связи с появлением термина "условная вероятность" будем вероятность события называть также безусловной вероятностью события.

Теорема. Условная вероятность P(A | B) обладает всеми свойствами безусловной вероятности P(A).

Замечание. Условная вероятность представляет собой безусловную вероятность, заданную на новом пространстве Ω₁ элементарных исходов, совпадающем с событием B.

Геометрическая интерпретация условной вероятности. При практическом вычислении условной вероятности события A при условии, что событие B произошло, часто удобно трактовать условную вероятность как безусловную, но заданную не на исходном пространстве Ω элементарных исходов, а на новом пространстве Ω₁ = B элементарных исходов.

Теорема умножения вероятностей (формула для вероятности произведения нескольких зависимых событий). Если A = A ₁ A ₂ ...A_n (т.е. А −; пересечение событий A ₁, A ₂,..., A_n) и P(А)> 0, то справедливо равенство P(A)= P(A ₁)P(A ₂| A ₁)P(A ₃| A ₁ A ₂)...P(A_n | A ₁ A ₂ ...A_{n − 1}), называемое формулой умножения вероятностей.

Доказательство. Поскольку , а то и . Учитывая это неравенство, согласно определению условной вероятности, имеем Умножая обе части этого равенства на получаем Аналогично находим . Тогда Продолжая эту процедуру, получаем формулу умножения вероятностей.

Определение. События A и B, имеющие ненулевую вероятность, называют независимыми, если условная вероятность A при условии B совпадает с безусловной вероятностью A или если условная вероятность B при условии A совпадает с безусловной вероятностью B. В противном случае события A и B называют зависимыми.

Теорема. События A и B, имеющие ненулевую вероятность, являются независимыми тогда и только тогда, когда

Теорема. Если события A и B независимые, то независимыми также являются пары событий и B, A и , и , если вероятности соответствующих событий ненулевые.

Определение. События А ₁, A ₂,..., А_n называют независимыми в совокупности, если вероятность пересечения любых двух различных событий равна произведению вероятностей этих событий; вероятность пересечения любых трех событий равна произведению их вероятностей;...; вероятность пересечения всех событий равна произведению их вероятностей.

Формула для вероятности произведения нескольких независимых событий). Если A = A ₁ A ₂ ...A_n (т.е. А −; пересечение событий A ₁, A ₂,..., A_n), P(А)> 0 и события А ₁, A ₂,..., А_n независимы в совокупности, то справедливо равенство P(A)= P(A ₁)P(A ₂)P(A ₃)...P(A_n).

Теорема. Если события А 1, A 2,..., Аn независимы в совокупности, то и события независимы в совокупности. Замечание. (о связи между совместными и зависимыми событиями). Между понятиями „несовместные" и „независимые" события имеется следующая связь: 1) если A и B − несовместные события (и , и ), то они обязательно зависимые (убедитесь самостоятельно); 2) если A и B − совместные события, то они могут быть и зависимыми, и независимыми; 3) если A и B − зависимые события, то они могут быть и совместными, и несовместными. Следует помнить, что при использовании теоремы сложения вероятностей нужно проверять несовместность событий, а при использовании теоремы умножения − независимость событий.

Формула для вероятности суммы нескольких совместных независимых событий. В прошлой лекции была получена формула:

В случае независимых, но совместных событий она примет вид