Дифференциалы основных элементарных функций

1.		5.
2.		6.
3.		7.
4.		8.

 

 

I. Дифференциал функции.

Опр. Дифференциал функции называется главная линейная относительно часть приращения функции, равная произведению производной на приращение независимой переменной .

1. Понятие дифференциала:

Пусть функция , определена на промежутке Х и дифференцируема в некоторой окрестности точки . Тогда существует конечная производная =f’(x).

На основании теоремы о связи бесконечно малых величин с пределами ф-ций можно записать

Где -бесконечно малая величина при , откуда .

Таким образом, приращение ф-ции состоит из двух слагаемых: 1)линейного относительно ;2) нелинейного (представляющего бесконечно малую более высокого прядка, чем , ибо =0).

Орп. Дифференциалом ф-ции называется главная, линейная относительно часть приращения ф-ции, равная произведению производной на приращение независимой переменной .

Дифференциал ф-ции независимой переменой равен приращению этой переменной. Т.к.

Прим. Найти диффрнц. ф-ции . Решение: , откуда .

Поэтому формулу для дифференцирования ф-ции можно записать в виде , откуда еперь мы видим, что не просто символическое обозначение производной, а обычная дробь с числителем и знаменателем .

Т.е. геометрический смысл дифференцируемости f (x) в точке х

₀ состоит в том, что расстояние от точки на ее графике до соответствующей

на касательной стремится к нулю "быстрее", чем ∆х.