Теорема существования и единственности решения задачи Коши

Пусть функция непрерывна в области и удовлетворяет в этой области одному из трех условий:

А: функция удовлетворяет условию Липшица по :

,

В: существует и ограничена частная производная ,

D: существует и непрерывна частная производная .

Заметим, что из условия D следует условие В., а из условия В следует условие А. Поэтому класс функций, удовлетворяющих условию А, шире, чем класс функций, удовлетворяющих условию В, а класс функций, удовлетворяющих условию В, шире, чем класс функций, удовлетворяющих условию С. Условие А проверить трудно, а условие В или условие D проверить гораздо легче.

Если в какой-либо точке решение дифференциального уравнения не существует (через точку не проходит интегральная кривая), то в ней разрывна функция .

Если через какую-либо точку проходят две или более интегральных кривых, то функция непрерывна в этой точке, но ни одно из условий А, В, D не выполнено в ней.

Пример. Найти общее и частное решение уравнения .

Очевидно, что общее решение будет . Так как правая часть непрерывна и удовлетворяет условию D, то через любую точку конечной плоскости OXY проходит единственная интегральная кривая.

Для заданных начальных условий существует константа , такая что .