Несобственные интегралы от разрывной функции по конечному промежутку (второго рода)Функция может терпеть разрыв на левом конце отрезка Пусть функция . Пусть функция Пусть функция Если указанные пределы существуют и конечны, то интегралы называются сходящимися, если предел бесконечен или не существует вообще, то интеграл расходится. Если сходятся интегралы от функций Пример.
Заметим, если здесь формально применить формулу Ньютона-Лейбница (она неприменима, т.к. функция разрывна), получим ответ 2. Еще раз убеждаемся, что теоремы следует применять, внимательно проверяя условия их применимости. Рассмотрим несобственный интеграл Дирихле второго рода
При Итак, несобственный интеграл Дирихле второго рода Замечание. Интегралы Дирихле первого и второго рода расходятся при n=1. При n>1 интеграл Дирихле первого рода сходится, а интеграл Дирихле второго рода расходится. При n<1 интеграл Дирихле первого рода расходится, а интеграл Дирихле второго рода сходится. Признаки сравнения интегралов остаются верными и для интегралов второго рода. Эталонами сравнения служат обычно интегралы Дирихле и интегралы от показательной функции.
Примеры.
|
, на правом конце или в некоторой внутренней точке с отрезка.
непрерывна на отрезке 
называется предел 
= 
= 
, тогда несобственным интегралом второго рода от функции 
(интегралы в правой части определены выше).
, то сходятся интегралы от функций 
. Это следует из теорем о пределах.
Интеграл расходится, так как пределы в правой части равенства бесконечны.
.
.
, интеграл расходится.
расходится при 
сходится сравнением с несобственным интегралом Дирихле 
(n= 
) по второму признаку сравнения. Вспомните, что сумма бесконечно малых функций в знаменателе эквивалентна при 
бесконечно малой наинизшего порядка малости. Можно доказать эквивалентность непосредственным вычислением предела.
расходится сравнением с интегралом 
по второму признаку сравнения.
