Интегрирование элементарных рациональных дробей четырех типов1) 2) 3)
4)
Вычислим интеграл
По этой рекуррентной формуле можно последовательно вычислять интегралы
Таким образом, показано, что все четыре типа элементарных рациональных дробей интегрируемы. Следовательно, класс рациональных функций представляет собой класс интегрируемых функций. При интегрировании конкретных рациональных функций выделяют целую часть и раскладывают рациональную дробь на элементарные. Затем интегрируют элементарные рациональные дроби.
Пример. Составляем и решаем систему уравнений относительно неопределенных коэффициентов (первый способ определения коэффициентов)
Можно воспользоваться и вторым способом определения коэффициентов. X=0 | -1 = B-A-C X=1 | 4 = A+B+2B+C+B-A-C= 4B X=-1| -2 = A+B-2B-C+B-A-C= -2C. Отсюда C=1, B=1, A=1. Вторая система проще, чем первая. Теперь интегрируем сумму элементарных дробей.
|
,
=
(пример рассмотрен во второй лекции). Для того, чтобы вычислить интеграл от дроби в п.3, достаточно в соответствующем примере второй лекции обозначить коэффициенты другими буквами.
= 
=
, где 
.
.
- 
= 
, предварительно вычислив
.
Получим 
