Теорема 29.4. Пусть , существует в и . Пусть такова, что , Тогда если , то - точка максимума, если , то - точка минимума◄Условия теоремы дают возможность применить формулу Тейлора с остаточным членом в форме Пеано, т.е. теорему 26.1, согласно которой, с учётом равенства
Пусть Это означает, что модуль второго слагаемого в сумме Ещё более тонкий достаточный признак экстремума содержится в следующей теореме. Теорема 29.5. Пусть, существует в и. Пусть точка такова, что, а. Тогда если n – чётное число, то в точке есть экстремум, минимум при, максимум при.
|
, имеем:
, где 
при 
.
. Так как 
такое, что для любых 
: 
выполняется неравенство 
.
не превосходит половины модуля первого слагаемого, т.е. 
, поэтому знак этой суммы совпадает со знаком 
как при 
, так и при 
, так как 
. Следовательно, приращение 
не меняет знак в окрестности точки 
, и знак его совпадает со знаком 
, то 
, то 
