Определение. Выражение называется главным значением логарифма

 

Логарифмическая функция комплексного аргумента обладает следующими свойствами:

1)

2)

3)

4)

 

Обратные тригонометрические функции комплексного переменного имеют вид:

 

 

Производная функций комплексного переменного.

 

Определение. Производной от однозначной функции w = f(z) в точке z называется предел:

 

Определение. Функция f(z), имеющая непрерывную производную в любой точке области D называется аналитической функцией на этой области.

 

Правила дифференцирования функций комплексного аргумента не отличаются от правил дифференцирования функций действительной переменной.

Аналогично определяются производные основных функций таких как синус, косинус, тангенс и котангенс, степенная функция и т.д.

Производные гиперболических функций определяются по формулам:

 

 

Вывод правил интегрирования, значений производных основных функций ничем не отличается от аналогичных операций с функциями действительного аргумента, поэтому подробно рассматривать их не будем.

 

 

Условия Коши – Римана.

(Бернхард Риман (1826 – 1866) – немецкий математик)

 

Рассмотрим функцию комплексной переменной , определенную на некоторой области и имеющую в какой – либо точке этой области производную

 

Стремление к нулю Dz®0 может осуществляться в следующих случаях:

 

1)

2)

 

В первом случае:

 

 

Во втором случае:

 

 

Тогда должны выполняться равенства:

 

Эти равенства называются условиями Коши – Римана, хотя еще раньше они были получены Эйлером и Даламбером.

 

Теорема. Если функция имеет производную в точке

z = x + iy, то ее действительные компоненты u и v имеют в точке (х, у) частные производные первого порядка, удовлетворяющие условию Коши – Римана.

 

Также справедлива и обратная теорема.

На основании этих теорем можно сделать вывод, что из существования производной следует непрерывность функции.

 

Теорема. Для того, чтобы функция была аналитической на некоторой области необходимо и достаточно, чтобы частные производные первого прядка функций u и v были непрерывны на этой области и выполнялись условия Коши – Римана.

 

 

Интегрирование функций комплексной переменной.

 

Пусть - непрерывная функция комплексного переменного z, определенная в некоторой области и L – кривая, лежащая в этой области.

у

 

В

L

 

А

х

 

Кривая L задана уравнением

 

Определение. Интеграл от функции f(z) вдоль кривой L определяется следующим образом:

 

Если учесть, что , то

 

Теорема. (Теорема Коши) Если f(z) - аналитическая функция на некоторой области, то интеграл от f(z) по любому кусочно – гладкому контуру, принадлежащему этой области равен нулю.

 

 

Интегральная формула Коши.

 

Если функция f(z) – аналитическая в односвязной замкнутой области с кусочно – гладкой границей L.

 

D

 

r

z₀

 

Тогда справедлива формула Коши:

 

где z₀ – любая точка внутри контура L, интегрирование по контуру производится в положительном направлении (против часовой стрелки).

 

Эта формула также называется интегралом Коши.

 

 

Ряды Тейлора и Лорана.

(Пьер Альфонс Лоран (1813 – 1854) – французский математик)

 

Функция f(z), аналитическая в круге , разлагается в сходящийся к ней степенной ряд по степеням (z – z₀).

 

Коэффициенты ряда вычисляются по формулам:

 

Степенной ряд с коэффициентами такого вида называется рядом Тейлора.

 

Рассмотрим теперь функцию f(z), аналитическую в кольце . Эта функция может быть представлена в виде сходящегося ряда:

 

Ряд такого вида называется рядом Лорана. При этом функция f(z) может быть представлена в виде суммы:

 

Ряд, определяющий функцию f₁( x), называется правильной частью ряда Лорана, а ряд, определяющий функцию f₂(x), называется главной частью ряда Лорана.

 

Если предположить, что r = 0, то можно считать, что функция аналитична в открытом круге за исключением центральной точки z₀. Как правило, в этой точке функция бывает не определена.

 

Тогда точка z₀ называется изолированной особой точкой функции f.

 

Рассмотрим следующие частные случаи:

 

1) Функция f(x) имеет вид: . Т.к. степенной ряд сходится во всех точках внутри круга, то его сумма f₁(x) определена и непрерывно дифференцируема во всех точках круга, а, следовательно, и в центре круга z₀.

В этом случае говорят, что особенность функции f в точке z₀ устранима. Для устранения особой точки достаточно доопределить функцию в центре круга (f(z₀) = c₀) и функция будет аналитической не только в окрестности центра круга, но и в самом центре.

В этом случае для любого контура L, содержащего точку z₀ и принадлежащего к кругу .

 

2) Функция f(x) имеет вид: .

В этом случае точка z₀ называется полюсом функции f(z) порядка (кратности) m. При m = 1 точку z₀ называют еще простым полюсом.

Порядок полюса может быть определен по формуле:

z₀ – полюс порядка т.

3) Функция f(z) имеет вид , где в ряду не равно нулю бесконечное количество коэффициентов с_-k.

В этом случае говорят, что функция f(z) имеет в точке z₀ существенно особую точку.

 

 

Определение. Пусть z₀ – изолированная особая точка функция f(z), т.е. пусть функция f(z) – аналитическая в некотором круге из которого исключена точка z₀. Тогда интеграл

называется вычетом функции f(z) в точке z₀, где L – контур в круге , ориентированный против часовой стрелки и содержащей в себе точку z₀.

 

Вычет также обозначают иногда .

 

Если есть ряд Лорана функции f в точке z₀, то .

Таким образом, если известно разложение функции в ряд Лорана, то вычет легко может быть найден в случае любой особой точки.

 

В частных случаях вычет может быть найден и без разложения в ряд Лорана.

 

Например, если функция , а имеет простой нуль при z = z₀ , то z = z₀ является простым полюсом функции f(z).

 

Тогда можно показать, что вычет находится по формуле

 

Если z = z₀ – полюс порядка m ³ 1, то вычет может быть найден по формуле:

 

 

Пример. Найти вычет функции относительно точки z = 2.

 

Эта точка является полюсом второго порядка. Получаем:

 

 

Теорема о вычетах.

 

Теорема. Пусть функция f(z) – аналитическая на всей плоскости z, за исключением конечного числа точек z₁, z₂, …, z_N. Тогда верно равенство:

 

А интеграл от функции по контуру L, содержащему внутри себя эти точки, равен

 

Эти свойства применяются для вычисления интегралов. Если функция f(z) аналитическая в верхней полуплоскости, включая действительную ось, за исключением N точек, то справедлива формула

 

Пример. Вычислить определенный интеграл .

 

Подынтегральная функция является аналитической в верхней полуплоскости за исключением точки 2i. Эта точка является полюсом второго порядка.

Найдем вычет функции

Получаем

 

Пример. Вычислить определенный интеграл

 

Подынтегральная функция является аналитической в верхней полуплоскости за исключением точки i. Эта точка является полюсом второго порядка.

Найдем вычет функции

Получаем