Понятие экономичности системы счисления

Число в системе счисления с k разрядами, очевидно, будет иметь наибольшее значение в том случае, если все цифры числа окажутся максимальными, т. е. равными p- 1. Тогда

(3.8)

Количество разрядов числа при переходе от одной системы счисления к другой в общем случае меняется.

(Страница45)

Очевидно, если p = ( — не обязательно целое), то

Т. е. количество разрядов числа в системах счисления p и q будут различаться в раз, причем

(3.9)

При этом основание логарифма никакого значения не имеет, поскольку, а определяется отношением логарифмов. Сравним количество цифр в числе 99₁₀ и его представлении в двоичной системе счисления: 99₁₀=1100011₂, т. е. двоичная запись требует 7 цифр вместо 2 в десятичной, =log10/log2=3, 322; следовательно, количество цифр в десятичном представлении нужно умножить на 3, 322 и округлить в большую сторону: 2 • 3, 322=6, 644 ≈ 7.

Введем понятие экономичности представления числа в данной системе счисления [12].

Определение _________________________________________________

Под экономичностью системы счисления будем понимать то количество чисел, которое можно записать в данной системе с помощью определенного количества цифр.

Речь в данном случае идет не о количестве разрядов, а об общем количестве сочетаний цифр, которые интерпретируются как различные числа. Поясним на примере: пусть в распоряжении имеется 12 цифр. Можно разбить их на 6 групп по 2 цифры ("0" и "1") и получить шестиразрядное двоичное число; общее количество таких чисел, как уже неоднократно обсуждалось, равно 2⁶. Можно разбить заданное количество цифр на 4 группы по три цифры и воспользоваться троичной системой счисления — в этом случае общее количество различных их сочетаний составит 3⁴. Аналогично можно произвести другие разбиения; при этом число групп определит разрядность числа, а количество цифр в группе — основание системы счисления. Результаты различных разбиений можно проиллюстрировать табл. 3.2.

Из приведенных оценок видно, что наиболее экономичной оказывается троичная система счисления, причем результат будет тем же, если исследовать случаи с другим исходным количеством сочетаний цифр.

Точное расположение максимума экономичности может быть установлено путем следующих рассуждений. Пусть имеется n знаков для записи чисел, а основание системы счисления равно р. Тогда количество разрядов числа k=n/p, а общее количество чисел N, которые могут быть составлены, равно:

(3.10)

Таблица 3.2. Результаты разбиения цифр на группы

Параметр	Значения	Значения	Значения	Значения	Значения
Основание системы счисления (p)
Разрядность числа (k)
Общее количество различных чисел (N)	26=64	34=81	43=64	62=36	121=12

Если считать N(p) непрерывной функцией, то можно найти такое значение p_m, при котором N принимает максимальное значение. Для нахождения положения максимума нужно найти производную функции N(p), приравнять ее к нулю и решить полученное уравнение относительно p.

(3.11)

Приравнивая полученное выражение к нулю, получаем ln p= 1, или p_m = е, где е= 2, 71828... — основание натурального логарифма. Ближайшее к e целое число, очевидно, 3 — по этой причине троичная система счисления оказывается самой экономичной для представления чисел, однако следующей по экономичности оказывается двоичная система счисления.

Таким образом, простота технических решений — не единственный аргумент в пользу применения двоичной системы в компьютерах.