Теорема о промежуточном значении для производнойПусть дана непрерывная функция на отрезке Доказательство Рассмотрим функцию Обозначив полученный отрезок
Пусть
Поскольку
получим, что Следствия § (Теорема о нуле непрерывной функции.) Словами. Если функция на концах отрезка принимает значения противоположных знаков, то существует точка, в которой она равна нулю. § В частности любой многочлен нечётной степени имеет по меньшей мере один нуль;
|
Пусть также 
и без ограничения общности предположим, что 
Тогда для любого 
существует 
такое, что 
.
Она непрерывна на отрезке 
и 
, 
Покажем, что существует такая точка 
Разделим отрезок 
на два равных по длине отрезка, тогда либо 
и нужная точка 
найдена, либо 
и тогда на концах одного из полученных отрезков функция 
принимает значения разных знаков (на левом конце меньше нуля, на правом больше).
, разделим его снова на два равных по длине отрезка и т.д. Тогда, либо через конечное число шагов придем к искомой точке 
, либо получим последовательность вложенных отрезков 
по длине стремящихся к нулю и таких, что
Тогда 
и в силу непрерывности функции 
и 
Тогда 
такое, что 
