Кусочно-непрерывная функция. Скачок функции

Теорема (о непрерывности сложной функции). Пусть функция непрерывна в точке , а функция непрерывна в точке . Тогда сложная функция непрерывна в точке .

Всевозможные арифметические комбинации простейших элементарных функций, которые рассматривают в школьном курсе алгебры и начал анализа, мы будем называть элементарными функциями. Например, является элементарной.

Все элементарные функции непрерывны в области определения. Так что всюду непрерывна, так как всюду определена, а функция разрывна в точке .

Дадим теперь классификацию точек разрыва функции. Возможны следующие случаи.

1. Если и существуют и конечны, но не равны друг другу, то точку называют точкой разрыва первого рода. При этом величину называют скачком функции в точке .

Пример 20. Исследовать на непрерывность функцию

Решение. Эта функция может претерпевать разрыв только в точке , где происходит переход от одного аналитического выражения к другому, а в остальных точках области определения функция непрерывна.

Найдем левосторонний предел функции при . Cлева от точки , т.е. при , а .

Справа от точки . Тогда . Значение функции в точке , т.е. . Функция в точке имеет разрыв первого рода. Это видно и на графике функции (рис. 25).

 

 

Рис. 25

 

2. Если в точке , но в точке функция либо не определена, либо , то точка является точкой устранимого разрыва.

Последнее объясняется тем, что если в этом случае доопределить или видоизменить функцию , положив , то получится непрерывная в точке функция.