Вопрос 4. Касательная плоскость и нормаль к поверхностиПусть имеем поверхность, заданную уравнение вида f(x,y,z)=0 Опр: прямая линия называется касательной к поверхности в некоторой точке P(x,y,z), если она является касательной к какой либо кривой, лежащей на поверхности и проходящей через точку Р. Опр: плоскость в которой расположены все касательный прямые к линиям на поверхности, проходящим через данную ее точку Р, называется касательной плоскостью к поверхности в точке Р. Если в точке М(x,y,z) все три производные ∂F/∂x, ∂F/∂y, ∂F/∂z Напишем уравнение касательной плоскости к поверхности в обыкновенной точке. Так как эта плоскость перпендикулярна вектору, то следовательно, ее уравнение имеет вид ∂F/∂x (X – x)+ ∂F/∂y(Y – y)+ ∂F/∂z (Z – z)=0 Опр: прямая, проведенная через точку P(x,y,z) поверхности перпендикулярно к касательной плоскости, называется нормалью к поверхности. Напишем уравнение нормали. Так как ее направление совпадает с направление вектора N, то ее уравнения будут иметь вид:
X-x/∂f/∂x= Y-y/∂F/∂y= Z-z/∂F/∂z
|
равны нулю или хотя бы одна из этих производных не существует, то точка М называется особой точкой поверхности. Если в точке М(x,y,z) все три производные dF/dx, dF/dy, dF/dz 
