Тригонометрическая форма комплексного числа

r=çz ç

j=argZ

 

Пусть комплексное число z=a+bi изображено в виде вектора r с началом О (0, 0) и концом Z(a, b). Вектор ОZ можно задавать не только его координатами a и b, но также длиной r и углом j, который он образует с положительным направлением оси абсцисс. При этом a=rcosj, b=rsinj и число z принимает вид z=r (cosj+isinj), который называется тригонометрической формой комплексного числа. Число r называют модулем комплексного числа z и обозначают ½z½. Число j называют аргументом z и обозначают Arg z.

Определение 1. Модулем комплексного числа z=a+bi называется длина вектора z, которую можно вычислить по формуле r = çz ç=

 

Определение 2. Аргументом комплексного числа z=a+bi называется угол j, который образует вектор z с положительным направлением оси абсцисс, отсчитываемый против часовой стрелки.

Т.к. cosj, sinj - функции периодические с периодом 2p, то j=j+2pk, где k- целое число.

Назовем главным аргументом j при k=0.

Пример:

1. z₁ = 1, = 1, φ = 0, z₁ = 1*(cos0+isin0)

2. z₂ = 2i, = 2, φ = 90⁰ , z₂ = 2(cos90⁰+isin90⁰)

 

1) Если (1-ая и 4-ая координатные четверти, или правая полуплоскость), то аргумент нужно находить по формуле .

2) Если (2-ая координатная четверть), то аргумент нужно находить по формуле .

3) Если (3-я координатная четверть), то аргумент нужно находить по формуле .

Пример

Представить в тригонометрической форме комплексные числа:

z₁ = 3+ = = =

Т.к. четверть первая, то φ=arctg =arctg = 30⁰

Z₁= *(cos30⁰+isin30⁰)