ЗАДАЧИ ДЛЯ КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ. 1 – 10. Дана система линейных уравнений

1 – 10. Дана система линейных уравнений

.

Исследовать ее на совместность и в случае совместности решить тремя способами:
1) методом Гаусса; 2) средствами матричного исчисления; 3) по формулам Крамера.

1. 2. 3.

4. 5. 6.

7. 8. 9.

10.

 

11 – 20. Даны векторы { a ₁, a ₂, a ₃}, { b ₁, b ₂, b ₃}, { c ₁, c ₂, c ₃} и { d ₁, d ₂, d ₃} в некотором базисе. Показать, что векторы , , образуют базис и найти координаты вектора в этом базисе.

 

Номер задачи
	11, 1, 2	–3, 3, 4	–4, –2, 7	–5, 11, –15
	9, 5, 3	–3, 2, 1	4, –7, 4	–10, –13, 8
	7, 2, 1	3, –5, 6	–4, 3, –4	–1, 18, –16
	1, 2, 3	–5, 3, –1	–6, 4, 5	–4, 11, 20
	–2, 5, 1	3, 2, –7	4, –3, 2	–4, 22, –13
	3, 1, 2	–4, 3, –1	2, 3, 4	14, 14, 20
	3, –1, 2	–2, 4, 1	4, –5, –1	–5, 11, 1
	4, 5, 1	1, 3, 1	–3, –6, 7	19, 33, 0
	1, –3, 1	–2, –4, 3	0, –2, 3	–8, –10, 13
	5, 7, –2	–3, 1, 3	1, –4, 6	14, 9, –1

21. Уравнение одной из сторон квадрата: x + 3 y – 8 = 0. Составить уравнения трех остальных сторон квадрата, если P (–1, 1) – точка пересечения его диагоналей. Сделать чертеж.

22. Даны уравнения одной из сторон ромба 2 x – 5 y – 1 = 0 и одной из его диагоналей x + 3 y – 6 = 0; диагонали ромба пересекаются в точке P (7,5; –0,5). Найти уравнения остальных сторон ромба. Сделать чертеж.

23. Уравнения двух сторон параллелограмма: x – 2 y = 0и x – y – 1 = 0, уравнение одной из его диагоналей: 2 x + y + 5 = 0. Найти координаты вершин параллелограмма. Сделать чертеж.

24. Даны две вершины A (2, 3), B (5, –1) и точка D (–5/7, –1/7) пересечения высот треугольника. Составить уравнения его сторон. Сделать чертеж.

25. Даны вершины: A (–2, –2), B (5, –1), С (2, 3) трапеции ABCD (AD ½½ BC). Известно, что диагонали трапеции взаимно перпендикулярны. Найти координаты вершины D этой трапеции. Сделать чертеж.

26. Даны уравнения двух сторон треугольника: 2 x – 5 y + 11= 0 и x + 2 y – 1 = 0. Его медианы пересекаются в точке P (3, 1). Составить уравнение третьей стороны треугольника. Сделать чертеж.

27. Даны две вершины: A (2, 0) и B (3, 1) и точка P (1, 2) пересечения медиан треугольника ABC. Составить уравнение высоты треугольника, проведенной через вершину С. Сделать чертеж.

28. Даны уравнения двух высот треугольника 3 x + 5 y + 2= 0 и 9 x + 2 y – 28 = 0 и одна из его вершин A (5, 0). Составить уравнения сторон треугольника. Сделать чертеж.

29. Даны уравнения двух медиан треугольника: x – 2 y – 1 = 0 и y – 1 = 0 и одна из его вершин A (3, 3). Составить уравнения его сторон. Сделать чертеж.

30. Две стороны треугольника заданы уравнениями: x – 2 y – 5 = 0 и 3 x – y + 5 = 0, а середина третьей стороны совпадает с началом координат. Составить уравнение этой стороны. Сделать чертеж.

31. Составить уравнение и построить линию, расстояния каждой точки которой от начала координат и от A (6, 0) относятся как 2:1.

32. Составить уравнение и построить линию, расстояние каждой точки которой от точки A (1, 3) вдвое меньше расстояния от прямой x = –6.

33. Составить уравнение и построить линию, расстояния каждой точки которой от точки A (6, 1) и от прямой x + 5 = 0 относятся как 1:3.

34. Составить уравнение и построить линию, каждая точка которой находится вдвое дальше от точки A (1, 6), чем от точки B (4, –2).

35. Составить уравнение и построить линию, расстояния каждой точки которой от точки A (4, 0) и от прямой 2 x + 3 = 0 относятся как 4:5.

36. Составить уравнение и построить линию, расстояние каждой точки которой от точки A (–3, 0) вдвое меньше расстояния от точки B (20, 0).

37. Составить уравнение и построить линию, каждая точка которой одинаково удалена от точки A (0, 1) и от прямой y – 3 = –6.

38. Составить уравнение и построить линию, каждая точка которой равноотстоит от оси ординат и от окружности x ² + y ² = 10.

Замечание. Напомним, что за расстояние от точки A до фигуры Ф принимается наименьшее из расстояний между точкой A и точками фигуры Ф.

39. Составить уравнение и построить линию, каждая точка которой равноудалена от точки А (2, 4) и от прямой у + 4 = 0.

40. Составить уравнение и построить линию, каждая точка которой отстоит от точки А (–8, 0) втрое дальше, чем от начала координат.

41 – 50. Даны координаты вершин пирамиды A ₁ A ₂ A ₃ A ₄.

Найти: 1) длину ребра A ₁ A ₂; 2) угол между ребрами A ₁ A ₄ и A ₁ A ₂; 3) угол между ребром A ₁ A ₄ и гранью A ₁ A ₂ A ₃; 4) площадь грани A ₁ A ₂ A ₃; 5) объем пирамиды; 6) уравнения прямой A ₁ A ₂; 7) уравнение плоскости A ₁ A ₂ A ₃; 8) уравнение высоты, опущенной из вершины A ₄ на грань A ₁ A ₂ A ₃. Сделать чертеж.

 

Номер задачи	A 1(x 1, y 1, z 1)	A 2(x 2, y 2, z 2)	A 3(x 3, y 3, z 3)	A 4(x 4, y 4, z 4)
	5, 2, 7	7, –6, –9	–7, –6, 3	1, –5, 2
	–2, –5, –1	–6, –7, 9	4, –5, 1	2, 1, 4
	–6, –3, –5	5, 1, 7	3, 5, –1	4, –2, 9
	7, 4, 2	–5, 3, –9	1, –5, 3	7, –9, 1
	–8, 2, 7	3, –5, 9	2, 4, –6	4, 6, –5
	4, 3, 1	2, 7, 5	–4, –2, 4	2, –3, –5
	–9, –7, 4	–4, 3, –1	5, –4, 2	3, 4, 4
	3, 5, 3	–3, 2, 8	–3, –2, 6	7, 8, –2
	4, 2, 3	–5, –4, 2	5, 7, –4	6, 4, –7
	–4, –2, –3	2, 5, 7	6, 3, –1	6, –4, 1

 

 

 

ПРИЛОЖЕНИЕ 1