Классификация ошибок геодезических измерений. Свойства случайных ошибок измерений. Понятие о предельной ошибке

 

Измерения являются важной составной частью геодезических работ; именно из измерений получают количественную информацию о различных объектах, подлежащих изучению. Геодезистам приходится измерять длины линий, горизонтальные и вертикальные углы, превышения между точками местности, температуру воздуха, ускорение свободного падения, интервалы времени и многое другое. Результаты измерений могут использоваться как непосредственно, так и как промежуточные величины для вычисления таких характеристик объекта, которые либо вообще нельзя измерить, либо их измерение требует слишком больших затрат времени и средств.

Методика выполнения измерений разрабатывается конкретно для каждого вида измерений и имеет целью достичь необходимую точность результатов при наименьшей трудоемкости процесса.

С точки зрения теории обработки измерений все измерения нужно разделить на необходимые и избыточные. Если количество неизвестных величин равно t, а количество измерений равно n, причем n>t, то t измерений являются необходимыми, а (n-t) - избыточными.

Простой пример: чтобы узнать значение угла, достаточно измерить его один раз (t=1); на практике угол измеряют несколькими приемами, получая n его значений; следовательно, (n-1) измерений избыточны.

Измерения в геодезии рассматриваются с двух точек зрения: количественной и качественной, выражающей числовое значение измеренной величины, и качественной – характер её точность. Из практики известно, что даже при самой тщательной и аккуратной работе много кратные измерения не дают одинаковых результатов. Если обозначить истинное значение измеряемой величины X а результат измерения l от истинная ошибка измерения дельта определяется из выражения дельта= l-X

Любая ошибка результата измерения есть следствие действия многих факторов, каждый из которых порождает свою погрешность. Ошибки, происходящие от отдельных факторов, называются элементарными. Ошибки результата измерения являются алгебраической суммой элементарных ошибок. Математической основной теорией ошибок измерений являются теория вероятностей и математическая статистика.

Ошибки измерений классифицируют по двум признакам характеру их действия и источнику происхождения.

По характеру – грубые систематические и случайные.

Грубыми называются ошибки превосходящие по абсолютной величине некоторый, установленный для данных условий измерений предел.

Ошибки которые по знаку или величине однообразно повторяются в многократных измерениях наз систематическими.

Случайные ошибки – это ошибки, размер и влияние которых на каждый отдельный результат измерения остается неизвестным.

Случайная истинная ошибка измерения Δ - это разность между измеренным значением величины l и ее истинным значением X:

Δ=I-X.

По источнику происхождения различают ошибки приборов, внешние и личные.

Ошибки приборов обусловлены их несовершенством, например, ошибка в угле, измеренном теодолитом, ось вращения которого неточно приведена в вертикальное положение.

Внешние ошибки происходят из-за влияния внешней среды, в которой протекают измерения.

Личные ошибки связаны с особенностями наблюдателя, например, разные набл по разному наводят зрительную трубу на визирную цель. Т к грубые ошибки должны быть исключены из результатов измерений, а систематические исключены или ослаблены до минимально допустимого предела, то проектирование измерений с необходимой точностью, оценку результата выполненных измерений производят, основываясь на свойства случайных ошибок.

Под ошибкой измерения подразумевают: ∆i=хi-Хист=Өi+с, где хi- результат измерения, Хист- истинное значение, ∆i-абсолютная ошибка;

Случайная ошибка Өi=хi-Мх;

Систематическая ошибка с=Мх-Хист.

В теории ошибок принято 2 постулата:

1) ошибки измерений подчиняются нормальному закону распределения с плотностью: φ(Δ)=(1/(σ*√2π))*(℮ в степени (-∆²/2σ²)).

2) систематические ошибки в измерениях отсутствуют (влияние их мало);

Часто переходим к нормированной случайной величине t=∆i/σ, σt=1, h=1/√2*σ – мера точности.

Свойства случайных ошибок из указанных двух постулатов:

1. при данных условиях измерений абсолютные значения случайных ошибок не превосходят некоторого предела; если какая-либо ошибка выходит за этот предел, она считается грубой,

2. положительные и отрицательные случайные ошибки равновозможны,

3. среднее арифметическое случайных ошибок стремится к нулю при неограниченном возрастании числа измерений. Третье свойство случайных ошибок записывается так: (свойство компенсации)

4. малые по абсолютной величине случайные ошибки встречаются чаще, чем большие.

Кроме того, во всей массе случайных ошибок не должно быть явных закономерностей ни по знаку, ни по величине. Если закономерность обнаруживается, значит здесь сказывается влияние какой-то систематической ошибки.

Кривая ошибок (кривая Гаусса)

Плотность нормального распределения ошибки

φ(Δ)= у = (1/(σ*√2π))*(℮ в степени (-∆²/2σ²)) h=1/√2*σ

Кривая ошибок, уравнение которой у = (h /√π)*(℮ в степени (-∆²/2σ²)), обладает следующими основными свойствами:

1) кривая лежит над осью абсцисс, так как ордината у ни при каких ∆ не принимает отрицательных значений и не обращается в нуль;

2) кривая распределения симметрична относительно оси ОУ, т.к. ф-ция ℮ в степени (-∆²/2σ²) четная и значения ординат для положительных и отрицательных ∆, равных по абсолютной величине, одинаковы;

3) для любых значений ∆, больших или меньших нуля, ординаты будут меньше, чем при ∆ =0, т.е. при ∆ =0 ордината у принимает max значение;

4) поскольку кривая имеет maxимум и в то же время своими концами асимптотически приближается к оси О∆, у нее есть две точки перегиба (слева справа от оси ОУ), причем для точек перегиба |∆| =m;

5) касательные к кривой в точке перегиба отсекают от оси абсцисс отрезки, равные |∆| =2m.

Предельная ошибка ряда измерений обозначается Δ_пред; она обычно принимается равной 3*m при теоретических исследованиях и 2*m или 2.5*m при практических измерениях. Считается, что из тысячи измерений только три ошибки могут достигать или немного превосходить значение Δ_пред = 3*m.

Предельную погрешность ∆пр, которую принимают равной утроенному или удвоенному среднему квадратическому отклонению В теории вероятностей доказывается, что при достаточно большом числе измерений случайные погрешности измерений, непревышающие по абсолютной величине значения среднего квадратического отклонения, составляют 68,3% всех воз­можных погрешностей. Анало­гично в пределах двойного среднего квадратического от­клонения располагаем 95,4% всех погрешностей, а в пре­делах тройного - 99,7%. На­глядно это может быть пред­ставлено в виде графика если по оси абсцисс отложить значения ∆/m, а по оси ор­динат - число рассматриваемых погрешностей Из графика видно, что появление случайной погрешности больше предель­ной маловероятно.