Определение дифференциала, его свойства
Пусть ф-ция y=f(x) дифференцируема в точке х, т.е. ∃ предел Опр. Ф-ция Свойства дифференциала Из формулы (**) следует, что Если положить, что dx= Т.к. при
Свойство инвариантности формы первого дифференциала. Рассмотрим сложную ф-цию
|
. Тогда, 
, (*) обозначим через dx новое независимое переменное.
, линейная относительно переменной dx, call дифференциалом (или первым дифференциалом) ф-ции f(x) в точке х и обозначается через dy или df. Иногда удобно писать dy(x) или df(x). Итак, dy=df= 
, поэтому производную 
часто обозначают 
или 
.
, то формулу (*) можно переписать так: 
, таким образом, разность 
есть бесконечно малая более высокого порядка малости, чем dx т.е. дифференциал представляет собой главную линейную часть приращения ф-ции.
или 
, таким образом получена формула 
для приближенного вычисления ф-ции f(x) при значений х, близких к 
.
, для которой выполнены все условия теоремы (о дифференцировании сложной ф-ции). Тогда, с одной стороны 
(*), где t – это независимое переменное, с другой стороны, в силу теоремы (о дифференцировании сложной ф-ции) 
или 
(**), где t=f(x). Т.О., дифференциал ф-ции φ(t) имеет один и тот же вид (*) иди (**) вне зависимости от того, является ли t независимым переменным или ф-цией какого-либо другого переменного. Это свойство call свойством инвариантности формы первого дифференциала.
