СТАЦИОНАРНЫЕ ВРЕМЕННЫЕ РЯДЫ

Для всех моделей временных рядов общим является предположение о том, что текущее значение процесса в значительной степени предопределено его предысторией, т.е. величина показателя генерируется значениями согласно характерным для этого временного ряда закономерностям. Математически это допущение может быть выражено следующим общим уравнением:

, (1)

где, представляет собой ошибку модели в момент t.

Функция f выражает характер взаимосвязей, сложившихся в рассматриваемом временном ряду , . При удачном подборе этой функции правая «детерминированная» часть выражения (1) хорошо соответствует реальным значениям этого ряда. «Степень близости» обычно устанавливается по характеристикам и свойствам ряда ошибки , Здесь имеется в виду прежде всего минимальная дисперсия, соответствие «белому шуму» и т.п.

Для широкого круга процессов функция f имеет линейный вид. Например, . Линейные модели временных рядов применяются, как правило, для описания стационарных процессов. При этом обычно имеются в виду стационарные процессы второго порядка.

Стационарный процесс n -го порядка характеризуется постоянными значениями всех своих моментов порядка п и ниже на всех временных отрезках, входящих в интервал . У строго стационарных процессов постоянными являются моменты всех порядков. Таким образом, для любых двух интервалов времени и для стационарного процесса второго порядка должны выполняться условия, характеризующие равенство на рассматриваемых интервалах математических ожиданий, дисперсий и однопорядковых коэффициентов автокорреляций исследуемого процесса. На практике это означает, что для соответствующих оценок перечисленных показателей должны иметь место следующие соотношения:

; (2)

; (3)

; (4)

где и – оценки математических ожиданий; и – оценки дисперсий; и – оценки коэффициентов автокорреляции 1-го порядка процесса на 1-м и на 2-м интервалах соответственно; – среднее значение процесса (оценка математического ожидания) на интервале (1, T); – оценка дисперсии процесса на интервале (1, T).

Заметим, что на практике равенства (2)-(4) рассматриваются в статистическом смысле. Иными словами, например, равенство может в точности не выполняться. Однако гипотеза о постоянстве математического ожидания процесса может быть принята, если значения и удовлетворяют соответствующему статистическому критерию.