Аналитический способ. При наличии прямоугольных координат X и Y вершин n -угольника его площадь можно вычислить по формулам аналитической геометрии; выведем одну из таких формул.

При наличии прямоугольных координат X и Y вершин n -угольника его площадь можно вычислить по формулам аналитической геометрии; выведем одну из таких формул.

Пусть в треугольнике ABC координаты вершин равны X₁, Y₁ (A), X₂, Y₂ (B) и X₃, Y₃ (C) - рис.6.2.

Рис.6.2

Из вершин треугольника опустим перпендикуляры на оси координат и обозначим их длину, как показано на рис.6.2.

Площадь треугольника P будет равна сумме площадей двух трапеций I(aABc) и II(bBCc) за вычетом площади трапеции III(aACc)

P=P_I+P_II-P_III. (6.9)

Выразим площадь каждой трапеции через ее основания и высоту:

P_I=0.5(X₁+X₂)*(Y₁-Y₂);
P_I=0.5(X₂+X₃)*(Y₃-Y₂); (6.10)
P_I=0.5(X₃+X₁)*(Y₁-Y₃);

Чтобы избавиться от множителя 0.5, будем вычислять удвоенную площадь треугольника. Выполним умножение, приведем подобные члены, вынесем общие множители за скобки и получим:

2*P=X₁*(Y₂-Y₃)+X₂*(Y₃-Y₁)+X₃*(Y₁-Y₂)

или в общем виде: 2*P=∑[X_i*(Y_i+1-Y_i-1)] 2*P=∑[Y_i*(X_i-1-X_i+1)]

(6.11)

В этой формуле индекс "i" показывает номер вершины треугольника; индекс "i" означает, что нужно брать следующую или предыдущую вершину (при обходе фигуры по часовой стрелке).

Если при группировке членов выносить за скобки Y₁, то получится формула:

(6.12)

Вычисления по обоим формулам дают одинаковый результат, поэтому на практике можно пользоваться любой из них.

Хотя формулы (6.11) и (6.12) выведены для треугольника, нетрудно показать, что они пригодны для вычисления площади любого n - угольника.

Оценка точности площади. В большинстве случаев участки на местности имеют форму неправильного n - угольника, причем количество вершин многоугольника n может быть от 30 до 20 и более. Площадь таких участков вычисляют аналитическим способом по прямоугольным координатам вершин, которые, в свою очередь, определяют в результате обработки геодезических измерений. При этом для каждой вершины многоугольника получают координаты и ошибку ее положения относительно исходных пунктов, задающих систему координат на местности.

Выведем формулу для оценки площади многоугольника по известным внутренним углам, длинам его сторон и ошибкам положения m_ti его вершин.

На рис.6.3 изображен фрагмент многоугольника с вершинами i-1, i, i+1, i+2 и сторонами l_i-1,l_i,l_i+1.

Проведем на вершинах i и i+1 окружности радиусами m_ti и m_t(i+1) и построим биссектрисы углов β_i и β_i+1. Затем восстановим перпендикуляры к стороне l_i и найдем проекции отрезков m_ti и m_t(i+1) на эти перпендикуляры:

(6.13)

(6.14)

Рис.6.3

Построим трапецию, основаниями которой являются отрезки m_i и m_i+1, а высотой - сторона l_i и найдем площадь этой трапеции ΔP_i. Как известно, площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту, а поскольку основаниями трапеции являются проекции ср.кв. ошибок, то вместо полусуммы нужно взять квадратичную полусумму оснований; таким образом,

(6.15)

где

c = Sin(β/2).

Площадь трапеции, построенной на одной стороне многоугольника, является частью ошибки площади всего многоугольника; выполнив квадратичное суммирование площадей ΔP_i по всем сторонам, получим:

или

(6.16)

Из формулы (6.16) можно получить формулу средней квадратической ошибки площади правильного многоугольника с одинаковой ошибкой положения m_t всех его вершин:

m_P=a_n * m_t * L, (6.17)

где: L - периметр многоугольника,
a_n - коэффициент, зависящий от n - количества вершин;

его значения:

n
an	0.204	0.250	0.256	0.250	0.243	0.231	0.222	0.212
n
an	0.205	0.197	0.179	0.156	0.143	0.128	0.091	0.065

Формула (6.17) является базовой и при оценке площади неправильных n-угольников, для которых ошибка площади m_p оказывается лишь на несколько процентов больше, чем для правильного n - угольника. Так, если площадь неправильного n - угольника при том же периметре в два раза меньше площади правильного n-угольника, то ошибка его площади увеличивается лишь на 20 %.

При неодинаковых ошибках положения вершин многоугольника в формуле (6.17) достаточно вместо m_t поставить m_t(ср).

Примером применения формулы (6.17) является оценка площади участков, координаты вершин которых получены с топографических планов. Например, для плана масштаба 1:2000 ошибку положения точек можно принять равной m_t = 0.50 мм * M = 1 м (при условии, что основа плана достаточно жесткая и ее деформацией можно пренебречь). При площади участка 0.12 га и количестве вершин n=4 (5 или 6) средняя квадратическая ошибка его площади при правильной форме (периметр L = 140 м) будет равна 35 кв.м, а при неправильной форме (периметр L>140 м) она может достигать 40 кв.м.

Другим примером применения формулы (6.17) может служить оценка площади многоугольника, координаты вершин которого получены из полярной засечки, выполненной с одного пункта-станции.

При использовании точных приборов (электронных тахеометров или систем GPS) доля ошибок измерений в ошибке положения точек значительно меньше доли ошибки их фиксации m_ф на местности. Приняв m_ti= m_ф, можно использовать формулу (6.17) для любых способов получения координат вершин многоугольника.

Площадь правильного n-угольника можно выразить через его периметр:

(6.18)

И из формулы (6.17) получить формулу относительной ошибки площади:

(6.19)

где

(6.20)

Например:

• для треугольника (n=3) m_p/P = 4.24* m_t/L,
• для четырехугольника (n=4) m_p/P = 4.00* m_t/L,
• для пятиугольника (n=5) m_p/P = 3.72 m_t/L,
• для шестиугольника (n=6) m_p/P = 3.46 m_t/L.

Таким образом, для приближенной оценки площади 3-4-5-6- угольника в аналитическом способе можно применять формулу:

m_p/P=4* m_t/L; (6.21)

ошибка этой формулы может достигать 15% - 20% для участков, форма которых заметно отличается от формы правильного n -угольника.