Критерии для классификации кривых по методу моментов

Все распределения, рассмотренные в п.7.3.1 – 7.3.3, могут быть разделены на типы с помощью критериев L, u, введенных автором.

Критерий L выражается через показатели асимметрии b₁ и островершинности b₂

.

При (в случае симметричных распределений) показатель , т.е. он совпадает с показателем островершинности.

Критерий (он же параметр) u задается формулой

,

где величины А,…,Е или А*,…Е* вычисляются по формулам (7.3.7) или (7.3.8).

На рис. 7.3.1 дана классификация распределений с параметром , а также симметричных распределений, для которых критерий L задается формулой .

 

Рис. 7.3.1. Классификация распределений по критериям u, L.

Эти же распределения можно классифицировать по критериям (рис.7.3.2). В этом случае распределения II типа представлены прямой . Распределения II¢ типа – кривой

.(7.3.52)

Последняя формула является следствием равенства В ²–4 АС =0, справедливого для кривых II¢ типа.

Рис. 7.3.2. Классификация распределений по критериям β_1, β_2.

Распределения III и I¢ типов занимают одну и ту же область между распределениями II и II¢ типов, поскольку кривая I¢ типа при β=1 представляет собой соответствующую кривую III типа, но смещенную вдоль оси абсцисс на величину –1/α u >0.

Распределения I типа занимают область между двумя прямыми - и , при этом распределения Ic типа (при ) находятся на интервале 1,8<β₂<3 оси ординат. Выше кривой II¢ типа находится область распределений, для которых дискриминант
В ²–4 АС <0.

Эту область покрывают распределения III-V типов, принадлежащие трем основным системам непрерывных распределений. На рис. 7.3.2 последние расположены ниже прямой β₂=6+0,75β₁. Распределения IV типа (при ) лежат на прямой β₂=5+β₁.

Сделаем некоторые выводы.

Рассмотренный выше классический метод моментов оценивания параметров имеет существенные недостатки. Во-первых, он применим лишь к распределениям, имеющим моменты вплоть до четвертого порядка, при этом параметр . Во-вторых, метод моментов весьма чувствителен к выбросам на концах статистического распределения, т.е. он не относится к устойчивым методам оценивания параметров.

Как показала практика, этот метод хорошо работает в случае выравнивающих распределений I типа, заданных на ограниченном с обеих сторон интервале, особенно если распределение близко к симметричному.

Для того, чтобы полнее использовать возможности обобщенных распределений по выравниванию статистических рядов распределения, необходимо иметь общие методы оценивания параметров для распределений всех типов, в том числе не имеющих моментов выше нулевого порядка (в традиционном их понимании). Методы должны быть общими для трех плотностей (6.2.8), (6.4.3), (6.4.4).

Ниже рассматриваются два таких метода, разработанные автором.