Обратная матрица

Квадратная матрица А называется невырожденной или неособенной, если её определитель отличен от нуля, т.е. det A≠0.

Матрица, обозначаемая А^-1, называется обратной для матрицы А, если:

А·А^-1=А^-1·А=Е

Е - единичная матрица.

(из «школьной» алгебры: )

Если А – невырожденная квадратная матрица, то для неё существует обратная матрица, которая может быть определена по формуле:

(4)

Где A_ij – алгебраическое дополнение элемента a_ij определителя матрицы А, (A_ij)^T – так называемая союзная (присоединенная) матрица.

 

Для случая матрицы 3-его порядка формула имеет вид:

 

(4’)

Свойства обратной матрицы:

1.

2.

3.

Пример 16 Найти матрицу, обратную к данной:

Решение:

 

1) Находим определитель матрицы:

 

 

т.к. detA≠0, то матрица А – невырожденная и обратная А^-1 существует и единственна.

2) Находим алгебраические дополнения всех элементов матрицы А:

 

А₁₁=1, А₂₁=-(-1)=1,

А₁₂=-3, А₂₂=2.

 

Составляем матрицу

 

 

3) Находим обратную матрицу по формуле (4):

 

 

Сделаем проверку:

 

 

 

Замечание 6:

Для матрицы 2-го порядка союзная матрица ноходится просто: элементы главной диагонали меняются местами, а элементы побочной диагонали умножаються на (-1).

Пример 17 Найти матрицу, обратную к данной

 

Решение:

1) Находим определитель матрицы:

 

 

 

 

2) Находим алгебраические дополнение всех элементов матрицы А:

 

 

 

Составляем матрицу:

3) Находим обратную матрицу по формуле (4)':

Сделаем проверку:

3x3 3x3 3x3

 

 

 

.