ПО ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЕ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ

1. Даны точки А (1,–2,3), В (–1,0,3), С (5,0,–1), О (0,0,0). Найти:

а) объем пирамиды построенной на векторах ;

б) уравнение прямой, содержащей ребро ;

в) площадь грани с ребрами и ;

г) расстояние от точки O до грани с ребрами и ;

д) уравнение прямой, содержащей высоту пирамиды, опущенной из точки ;

е) уравнение плоскости, проходящей через точку и середины ребер и ;

ж) точку пересечения высоты, проведенной из точки и грани ;

з) уравнение перпендикуляра, проведенного к грани через точку пересечения медиан ;

и) уравнение плоскости, проходящей через вершину параллельно грани ;

к) уравнения плоскости, проходящей через вершины и перпендикулярно

грани

л) объем пирамиды, отсекаемой от пирамиды плоскостью, проходящей через середины ребер и ;

м) расстояние от основания высоты, проведенной из вершины до точки ;

н) угол между гранями и ;

о) угол между ребрами и ;

п) объем пирамиды, отсекаемой от пирамиды плоскостью, проходящей через середину ребра параллельно грани .

 

2. Дана матрица

а) решить систему

б) решить систему при

в) решить систему

г) решить систему , где

д) решить систему , где

ж) найти базис пространства решений системы

з) найти какую-нибудь фундаментальную систему решений для системы

3. Дан оператор в пространстве R³, действующий следующим образом:

в базисе е ₁, е ₂, е ₃.

а) Найти его ранг;

б) найти его собственные значения и собственные векторы;

в) найти образ вектора ;

г) найти образы базисных векторов е ₁, е ₂, е ₃ и матрицу А _е в базисе е;

д) найти матрицу А_f оператора А в базисе

е) найти матрицу обратного оператора А ^-1 в базисе е;

ж) найти ранг оператора где .