Функция Гаусса и ее график

 

 

Свойства функции:

1) D(y) = R

2) f(x) = f(-x) – четная функция (симметрична относительно оси Oy)

3) y=kx+b; k=0; b=0; y=0 – горизонтальная асимптота (ось Ox)

4) С Ox: нет пересечений; с Oy: y=1/корень(2П)

5) f^\(x) = 1/корень(2П) * е^-x2/2 * (-1/2) * 2x; f^\(x) = 0; x=0 – критическая точка первого типа

f^\\(x) = 1/корень(2П) * е^-x2/2 * (х²-1); f^\\(x) = 0; х = +-1 – критические точки второго типа

6)

F(x)

 

 

f^\(x)

 

F(x)

 

 

f^\\(x)

 

 

7)

 

 

18. Функции двух переменных. Основные понятия: область определения, график, линия уровня, градиент

 

z = f(x, y)

 

1) z = корень(1 - x2 – y2) D(y): x2 + y2 ≤ 1

2) z = x2 + y2 D(y) = R2

3) z = x2 - y2 D(y) = R2

 

 

1) Область определения – множество, на котором задается функция

2) График функции двух переменных – поверхность

3) Линия уровня z = f(x, y) – множество точек, в которых значение z одно и то же

4) Градиент функции z = f(x, y) в точке М(х, у) – вектор, выходящий из точки М и имеющий своими координатами частные производные функции z, градиент указывает направление скорейшего возрастания функции, а его модуль равен производной по этому направлению

Частные производные первого порядка и частные производные второго порядка

 

∆(х) – приращение х

∆(у) – приращение у

∆(Z_x)= f(x + ∆х₁*у) – f(х₁*у) – приращение функции по х

∆(Z_y)= f(x₁*y + ∆у) – f(х₁*у) – приращение функции по y

Производные первого порядка

Предел ∆(Z_x)/∆(х) при ∆(х)→0 = Z^\_x

Предел ∆(Z_у)/∆(у) при ∆(у)→0 = Z^\_у

 

Производные второго порядка

Z^\\_xx = (Z^\_x)^\_х

Z^\\_xу = (Z^\_x)^\_у

Z^\\_уу = (Z^\_у)^\_у

 

Если функция z = f(x, y) непрерывна, то смешанные производные равны Z^\\_xу = Z^\\_ух

 

Если берем производную по х, то у считаем константой