Теорема сложения вероятностей совместных событий

Теорема:Два соб наз совместными, если появление одного из них не исключает появления другого в одном и том же опыте. Р(А+В)=Р(А)+Р(В)-Р(АВ)

Док-во

Событие А+В наступит, если наступат одно из трех несовместных событий А , В, АВ. По теореме сложения вероятностей несовм соб имеем Р(А+В)=Р(А)+Р(В)-Р(АВ) (1)

Событие А произойдет, если наступит одно из двух несовм соб: А , АВ. Вновь применяя теоремы сложения вероятн несовм соб, получим Р(А)=Р(А )+Р(АВ) (2)

Откуда Р(А )=Р(А)-Р(АВ) (3) Р(В)=Р( В)+Р(АВ) (4)
Ан-но для второго события. Откуда: Р( В)=Р(В)-Р(АВ) (5)

Подставив 3 и 4 в 5, получим: Р(А+В)=Р(А)+Р(В)-Р(АВ)

Теорема умножения вероятностей для двух произвольных событий

Теорема:Вероятность произведения двух соб равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, вычисленную при условии, что первое имело место. Р(АВ)=Р(А)Р()=Р(В)Р()

Док-во

Предположим, что из n всевозможных элементарн исходов событию А благоприятствуют m исходов, из которых k исходов благоприятствуют соб В. Тогда вероятность соб А будет Р(А)= , условная вероятность соб В относительно соб А будет Р()= . Произведению событий А и В благоприятствуют только те исходы, которые благоприятствуют и соб А и событию В одновременно, то есть k исходов. Поэтому вероятность произведения соб А и В равна: Р(АВ)= .

Умножим числитель и знаменатель дроби на m. Получим: Р(АВ)= =Р(А)Р()

Ан-но док и формула: Р(АВ)=Р(В)Р()