Напомним, что в аналитической геометрии любая пространственная линия рассматривается как пересечение двух поверхностей.
Так как каждая прямая всегда может быть помещена в некоторую плоскость и при пересечении двух плоскостей образуется прямая, то в аналитической геометрии прямую в пространстве принято задавать как пересечение двух плоскостей.
Итак, пусть 
и 
– уравнения любых двух различных плоскостей, содержащих прямую 
. Тогда координаты любой точки прямой 
удовлетворяют одновременно обоим уравнениям, т.е. являются решениями системы
(1)
Систему (1) называют общими уравнениями прямой в пространстве. Так как через любую прямую в пространстве проходит множество плоскостей, то любую прямую можно задать ее общими уравнениями и не единственным образом.
Недостатком задания прямой общими уравнениями является то, что по их виду ничего нельзя сказать о расположении прямой в пространстве. При решении задач удобнее использовать другие, более наглядные формы записи уравнений прямой – параметрические или канонические уравнения.
Получим параметрические и канонические уравнения прямой в пространстве, решив следующую задачу.
ЗАДАЧА 1. Записать уравнение прямой в пространстве, проходящей через точку 
, параллельно вектору 
.
Также, как и для прямой на плоскости, вектор, параллельный прямой в пространстве, называют направляющим вектором этой прямой.
П 
усть 
– текущая точка прямой. Обозначим через 
и 
– радиус-векторы точек 
и 
.
Рассмотрим векторы 
и 
. По условию задачи они параллельны.
Следовательно, существует такое число 
( называют параметром), что
,
, (2*)
или, в координатной форме,
(2)
Уравнение (2*) и систему уравнений (2) называют параметрическими уравнениями прямой в пространстве (в векторной и координатной форме соответственно).
Если в задаче 1 вектор не параллелен ни одной из координатных плоскостей (т.е. если 
, 
и 
), то из уравнений системы (2) можно выразить параметр :
, 
, 
и заменить систему (2) одним равенством вида:
. (3)
где 
– координаты некоторой точки на прямой; 
, 
, 
– координаты направляющего вектора прямой.
Уравнения (3) называют каноническими уравнениями прямой в пространстве.
частным случаем канонических уравнений являются уравнения прямой, проходящей через две заданные точки.
Действительно, пусть прямая проходит через две точки 
и 
. Тогда вектор
является ее направляющим вектором, и канонические уравнения этой прямой будут иметь вид
. (4)
Уравнения (4) называют уравнениями прямой, проходящей через две заданные точки 
и 
.
2. Переход от общих уравнений прямой к каноническим
Переход от канонических (параметрических) уравнений прямой к общим не вызывает затруднений. Действительно, если канонические уравнения прямой имеют вид
,
то ее параметрические уравнения:
, ,
а общие уравнения:
Переход от общих уравнений прямой к каноническим (параметрическим) требует несколько больших усилий.
Пусть прямая задана общими уравнениями:
(5)
Чтобы записать канонические (параметрические) уравнения этой прямой, необходимо найти ее направляющий вектор 
и координаты какой-нибудь точки 
на прямой. Координаты точки найти легко – это одно из решений системы уравнений (5). Выясним, как можно найти направляющий вектор .
пусть 
и 
– плоскости, уравнения которых входят в общие уравнения прямой, 
и 
– нормальные векторы к плоскостям 
и 
соответственно.
Так как прямая лежит в плоскости 
, то векторы 
и 
перпендикулярны.
Так как прямая лежит в плоскости 
, то векторы 
и тоже перпендикулярны.
Следовательно, в качестве можем взять векторное произведение векторов 
и (см. определение векторного произведения в §9).
ПРИМЕР. Записать канонические уравнения прямой
(6)
1) Найдем одно из решений системы (6). Так как 
, то этот минор можно выбрать в качестве базисного минора матрицы системы (6). Следовательно, переменные 
и 
можем выбрать в качестве базисных, а переменную 
– свободной. Так как нам не нужно все множество решений системы (6), то придадим переменной конкретное значение. Например, полагаем 
. Тогда переменные 
и 
будут удовлетворять системе
Решаем эту систему по формулам Крамера и получаем:
, 
, 
;
, 
.
Таким образом, 
– одно из решений системы (6), и точка 
– точка на рассматриваемой прямой.
2) Найдем направляющий вектор прямой. Имеем:
, 
;
.
Следовательно, в качестве направляющего вектора прямой можем взять вектор 
, и канонические уравнения рассматриваемой прямой будут иметь вид:
.
25. Взаимное расположение прямой и плоскости
