Обратная матрица. Теорема о существовании обратной матрицы. Методы нахождения обратной матрицы.

 

 

Определим операцию деления матриц как операцию, обратную умножению.

 

Определение. Если существуют квадратные матрицы Х и А, удовлетворяющие условию:

XA = AX = E,

где Е - единичная матрица того же самого порядка, то матрица Х называется обратной к матрице А и обозначается А^-1.

 

Каждая квадратная матрица с определителем, не равным нулю имеет обратную матрицу и притом только одну.

Рассмотрим общий подход к нахождению обратной матрицы.

Исходя из определения произведения матриц, можно записать:

AX = E Þ , i=(1,n), j=(1,n),

Пример. Дана матрица А = , найти А^-1.

 

 

Таким образом, А^-1= .

 

Для нахождения обратных матриц больших порядков, применяют следующую формулу:

где М_ji - дополнительный минор элемента а_ji матрицы А.

 

Пример. Дана матрица А = , найти А^-1. det A = 4 - 6 = -2.

M₁₁=4; M₁₂= 3; M₂₁= 2; M₂₂=1

x₁₁= -2; x₁₂= 1; x₂₁= 3/2; x₂₂= -1/2

Таким образом, А^-1= .

свойства

1) (A^-1)^-1 = A;

2) (AB)^-1 = B^-1A^-1

3) (A^T)^-1 = (A^-1)^T.

11. Собственные значения матрицы. Собственные и присоединённые векторы матрицы.

 

Пусть А- квадратная матрица порядка n

 

Определение 1. Комплексное число называется собственным значением матрицы А, если существует ненулевое решение матричного уравнения

 

Алгебраическая кратность собственного значения лямбда матрицы А, называеться кратность коря лимба характеристического уравнением Det(A-גE)

Квадратная матрица порядка n имеет с учетом кратности M собственных значений

 

Собственный вектор квадратной матрица А называеться отвечающий её собственному значению лямбда, называеться не нулевое решение Ах=גх

Собственные вектора квадратной матрицы отвечающие различным её собственным значениям называемых линейным

Каждому собственному значению лямбда матрицы а отвечает m=n-rang(A-גE) линейно не зависимых собственных векторов

Геометрическая кратность собственного значения лямбда квадратной матрицы А называется количество линейно не зависимых собственных векторов этой матрицы отвечают их собственному значению Лямбда