Применение алгебраического критерия Гурвица.

 

Критерий Гурвица гласит: чтобы замкнутая САУ с характеристическим уравнением

G(p) = а₀р^п + а,р^п-1 +К +а_п-1р + а_п = 0

была устойчива, необходимо и достаточно, чтобы при а₀ > 0, все определители

матрицы Гурвица, составленной из коэффициентов многочлена G(p), были бы положительными. Матрица Гурвица - матрица коэффициентов, содержащая п строк:

 

Таким образом, необходимо, чтобы выполнялись условия: ∆₁=a₁ >0;

 

Для САУ с характеристическим уравнением первой степени G(p) = a₀p + а₁ = 0 условие устойчивости таково: а₀>0; а₁>0.

Для САУ, имеющей уравнение второй степени G(p)=a₀p²+a₁p+a₂, условием устойчивости будет: а₀>0; ∆₁=а₁>0; а₂>0.

Для САУ, имеющей уравнение третьей степени G(p)=a₀p³+a₁p²+a₂p+a₃=0, условие устойчивости следующее: а₀>0; a₁>0; а₂>0; а₃>0; ∆₂=a₁a₂ -a₀a₃>0.

Для САУ, имеющей С(р)=а₀р⁴+а₁р³+а₂р²+а₃р+а₄=0, условие устойчивости: а₀>0; a₁>0; a₂>0; а₃>0; а₄>0; ∆₃=a₃(a₁a₂-a₀a₃)-a₁² а₄>0 и т.д.

Следует отметить, что если хоть один из коэффициентов или определителей системы отрицателен, система неустойчива и дальнейшие вычисления можно не производить. Если все коэффициенты и определители положительны, а опреде­литель ∆ _n-1 =0, то САУ находится на границе устойчивости. Например, для сис­темы четвертого порядка граница устойчивости выражается условием ∆ ₃=0.

В практических расчетах алгебраические критерии применяют для уравнений не выше шестого порядка из-за резкого возрастания трудоёмкости расчетов с повышением степени характеристического уравнения (для этих уравнений необ­ходимы расчеты на ЭВМ).