Угол между прямой и плоскостью

Пусть заданы прямая a и плоскость (рис.17):

Прямая c направляющим вектором

Плоскость с вектором нормали

Рис.17

 

 

Угол между прямой а и плоскостью вычисляется по формуле:

Чтобы найти точку пересечения прямой и плоскости, нужно параметрические уравнения прямой подставить в уравнение плоскости и найти параметр , соответствующий точке пересечения.

 

Пример. Найти а) угол между прямой и плоскостью;

б) точку пересечения прямой и плоскости.

.

Решение. - нормаль к плоскости; - направляющий вектор прямой.

 

а)

Отсюда,

б) Подставим параметрические уравнения прямой в уравнение плоскости

, - параметр точки пересечения прямой и плоскости.

Подставим значение параметра в параметрические уравнения, получим: Координаты точки пересечения

Уравнение прямой на плоскости

 

Каноническое уравнение прямой на плоскости: , где - направляющий вектор прямой.

Общее уравнение прямой на плоскости: ,

где - вектор нормали прямой.

Уравнение прямой с угловым коэффициентом (рис.18), где - угловой коэффициент прямой; угол – угол между прямой и осью ОХ;

b – отрезок, отсекаемый прямой на оси OY.

 

 

Рис.18

 

Уравнение прямой, проходящей через две точки и :

 

 

Пример Даны точки А (2;5), В (-3;1), С (5;2).

Найти: а) уравнение медианы AD;

б) уравнение высоты AE;

в) угол между медианой AD и высотой AE;

г) уравнение прямой, проходящей через точку С, параллельно прямой АВ (рис19).

 

Рис.19

Решение.

а) Точка D - середина отрезка ВС, найдем ее координаты:

Прямая AD проходит через две точки. Её уравнение имеет вид: ; ;

- уравнение прямой AD.

б) Высота перпендикулярна ВС. Пусть точка Е имеет координаты Тогда векторы

следовательно, их скалярное произведение - уравнение высоты АЕ.

в) Угол между медианой AD и высотой АЕ – это угол между их векторами нормалей

Отсюда,

г) Прямая СК параллельна прямой АВ. Пусть точка K имеет координаты Тогда векторы и коллинеарны.

Отсюда, ; ;

- уравнение прямой СК, параллельной АВ.